人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用课时学案

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

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1.平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),

(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.

(2)向量垂直:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.

2.平面向量的模与夹角的坐标表示

(1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=.

(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),

则||=.

(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==.

1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于(　B　)

(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2

解析:因为a=(0,1),b=(2,-1),

所以a·b=0×2+1×(-1)=-1.故选B.

2.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cos θ等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为3b=3b+a-a=(5,4)-(2,1)=(3,3),

所以b=(1,1),所以cos θ====.故选D.

3.(2021·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若a⊥c,则　　　　. 

解析:因为a=(3,1),b=(1,0),所以c=a+kb=(3+k,1),

因为a⊥c,所以a·c=3(3+k)+1×1=0,解得k=-.

答案:-

4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为　　　　. 

解析:因为所求向量与向量a=(1,2)平行,

所以可设所求向量为x(1,2),

又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,

解得x=±1.

因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).

答案:(1,2)或(-1,-2)

　数量积的坐标运算

[例1] (1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于(　　)

(A)10 (B)-10 (C)3 (D)-3

(2)已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,|c|=5,则向量c的坐标为　　　　　　　. 

(3)在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且DM=MC,BN=BC,则·=　　　　　　　　. 

解析:(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),

所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.

故选B.

(2)因为2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以b=(2,2).

设c=(x,y),

则由题可知

解得或

所以c=(3,4)或c=(4,3).

(3)法一　·

=(+)·(+)

=0+×22+×32+×0=5.

法二　以A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),M(1,2),N(3,1),

于是=(1,2),=(3,1),故·=5.

答案:(1)B　(2)(3,4)或(4,3)　(3)5

(3)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.如本例中的(3).

即时训练11:(1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(　　)

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(2)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于(　　)

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(3)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c等于　　　　. 

解析:(1)因为a=(1,-1),b=(-1,2),

所以2a+b=(1,0),(2a+b)·a=1.故选C.

(2)由=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),

得·=2×3+1×(-1)=5.故选A.

(3)设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,

所以解得

所以c=(,).

答案:(1)C　(2)A　(3)(,)

[备用例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).

(1)求a·(a-b);

(2)求(a+b)·(2a-b);

(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).

解:(1)法一　因为a=(-1,2),b=(3,2),

所以a-b=(-4,0).

所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.

法二　a·(a-b)=a2-a·b

=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.

(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),

2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),

所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.

(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=

(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).

a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=

(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).

　平面向量的模

[例2] (1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　)

(A) (B) (C)2 (D)10

(2)已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,则a+b的坐标为　　　　,|a+b|=　　　　. 

解析:(1)因为a⊥c,b∥c,所以解得

所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),

所以|a+b|=.故选B.

(2)设a=(x,y),

则由|a|=2,得x2+y2=52.①

由a⊥b,解得2x-3y=0.②

由①②,解得或

所以a=(6,4)或a=(-6,-4).

所以a+b=(8,1)或a+b=(-4,-7),

所以|a+b|=.

答案:(1)B　(2)(8,1)或(-4,-7)　

(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则|a|=.

即时训练21:(1)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(　　)

(A) (B) (C)5 (D)25

(2)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则x=　　　　. 

解析:(1)因为a=(2,1),所以a2=5,

又|a+b|=5,所以(a+b)2=50,

即a2+2a·b+b2=50,

所以5+2×10+b2=50,

所以b2=25,所以|b|=5.故选C.

(2)由题意知a+b=(x+1,x+3),

由|a+b|2=|a|2+|b|2得(x+1)2+(x+3)2=x2+(x+1)2+12+22,解得x=-.

答案:(1)C　(2)-

[备用例2] 已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为　. 

解析:由a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),

所以|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25(λ+)2+4.

当λ=-时,|c|min=2.

答案:-

　平面向量的夹角和垂直问题

[例3] (1)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(a+c)∥b,c⊥(a+b),则c等于(　　)

(A)(,) (B)(-,)

(C)(,) (D)(-,-)

(2)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(c-b)·a=,则a与c的夹角为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(3)已知向量a=(-2,-1),b=(t,1),且a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是　　　　. 

解析:(1)设c=(x,y),则a+c=(x+1,y+2),

a+b=(3,-1),

由题意知

解得

即c=(-,-).故选D.

(2)由a·b=-10,得(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=,

所以c·a=-,设a与c的夹角为θ,

则cos θ===-.

因为θ∈[0,π],所以θ=.故选C.

(3)因为a与b的夹角为钝角,

所以cos<a,b>=<0,

即a·b=-2t-1<0,

所以t>-.

若a∥b,则-2×1-t×(-1)=0,得t=2.

此时a=-b,a与b反向,所成角为180°,

故t=2时,不合题意.

所以t的取值范围是(-,2)∪(2,+∞).

答案:(1)D　(2)C　(3)(-,2)∪(2,+∞)

变式训练31:若将本例(3)的“钝角”改为“锐角”呢?

解:由a·b=-2t-1>0,得t<-,

由a∥b,得t=2,此时,a与b不可能同向,

所以实数t的取值范围是(-∞,-).

(2)利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时,要注意cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°.cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°.

即时训练31:(1)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　　　　. 

(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=　　　　　. 

解析:(1)(a+λb)⊥(a-λb)⇒(a+λb)·(a-λb)=a2-λ2b2=0⇒18-2λ2=0⇒λ=±3.

(2)因为a=(1,),b=(3,m),

所以|a|=2,|b|=,a·b=3+m.

又a,b的夹角为,

所以=cos ,

即=,

所以+m=,解得m=.

答案:(1)±3　(2)

[备用例3] 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(1)a与b的夹角为直角;(2)a与b的夹角为钝角;(3)a与b的夹角为锐角.

解:设a与b的夹角为θ,

则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.

(1)因为a与b的夹角为直角,所以cos θ=0,

所以a·b=0,

所以1+2λ=0,所以λ=-.

(2)因为a与b的夹角为钝角,

所以cos θ<0且cos θ≠-1,

所以a·b<0且a与b不反向.

由a·b<0得1+2λ<0,

故λ<-,

由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向.

所以λ的取值范围为(-∞,-).

(3)因为a与b的夹角为锐角,

所以cos θ>0,且cos θ≠1,

所以a·b>0且a,b不同向.

由a·b>0,得λ>-,由a与b同向得λ=2.

所以λ的取值范围为(-,2)∪(2,+∞).

1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于(　A　)

(A)3 (B)-3 (C) (D)-

解析:a·b=-x+6=3,故x=3.故选A.

2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(　A　)

(A)直角三角形 (B)锐角三角形

(C)钝角三角形 (D)等边三角形

解析:因为=(1,1),=(-3,3),

所以·=1×(-3)+1×3=0,

所以⊥,所以A=90°,故选A.

3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于(　C　)

(A)1 (B) (C)2 (D)4

解析:由题意得(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,

所以n=±.

所以|a|==2.故选C.

4.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　　　. 

解析:因为b=(12,5),

所以与b方向相同的单位向量e=(,),

所以a在b上的投影向量为

|a|cos θ e=e=3e=(,).

答案:(,)

选题明细表

基础巩固

1.已知向量a=(1,2),a+b=(m,4),若a⊥b,则m等于(　A　)

(A)-3 (B)-2 

(C)2 (D)3

解析:因为向量a=(1,2),a+b=(m,4),

所以b=(m-1,2).

若a⊥b,则m-1+2×2=0,

所以m=-3,故选A.

2.在▱ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|等于(　D　)

(A)5 (B)2 

(C)2 (D)

解析:因为+==(-4,2),

又=+=(-4,2)+(-2,6)=(-3,4),

所以2+=+(+)=(-3,4)+(-4,2)=(-7,6),

所以|2+|==.

3.(多选题)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中不正确的是(　ABC　)

(A)|a|=|b| (B)a·b=0

(C)a∥b    (D)(a-b)⊥b

解析:|a|==2,|b|==,a·b=2,2×1≠1×0,

a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b)⊥b,则A,B,C错,

D正确.

4.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为(　A　)

(A)(,) (B)(1,)

(C)(,) (D)(-1,-)

解析:设b=(x,y)(y≠0),

则依题意有解得

故b=(,).故选A.

5.(多选题)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　ABC　)

(A)-      (B) 

(C) 　(D)

解析:因为=(2,3),=(1,k),

所以=-=(-1,k-3).

若∠A=90° ,则·=2×1+3×k=0,

所以k=-;

若∠B=90° ,

则·=2×(-1)+3(k-3)=0,

所以k=;

若∠C=90° ,

则·=1×(-1)+k(k-3)=0,

所以k=.

故所求k的值为-或或.

故选ABC.

6.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=　　    　　　,

|a+b|=　　　   　　. 

解析:因为a·b=2,

所以x=2.

因为a+b=(3,1),

所以|a+b|=.

答案:2　

能力提升

7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为(　C　)

(A) (B) 

(C) (D)

解析:由已知可得(3a+5b)·(ma-b)=0,

即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0⇒

3m·32+(5m-3)·3×2·cos 60°-5×22=0,

解得m=.

8.(多选题)与已知向量a=(,),b=(,-)的夹角相等,且模为1的向量是(　AB　)

(A)(-,)    (B)(,-)

(C)(,-) (D)(-,)

解析:设与向量a=(,),b=(,-)的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),

则

解得或故选AB.

9.角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点P在α的终边上,点Q(-3,-4),且tan α=-2,则与夹角的余弦值为(　C　)

(A)-       (B)

(C)或- (D)或

解析:因为tan α=-2,

所以可设P(x,-2x),与的夹角为θ,

cos θ==,

当x>0时,cos θ=;

当x<0时,cos θ=-.

10.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则实数t=　　        　　,

·=　　　           　. 

解析:由=(2,3),=(3,t)

可知=-=(1,t-3).

因为||=1,所以=1,解得t=3.

所以·=2×1+3×0=2+0=2.

答案:3　2

11.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是　　　　. 

解析:由题意,得a·(a+λb)>0,且a与a+λb的夹角不为零.

因为a+λb=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ),

所以

所以

故所求λ的取值范围是{λ|λ>-,且λ≠0}.

答案:{λ|λ>-,且λ≠0}

12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(-5,4),C(1,-1).

(1)分别求出以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线长.

(2)是否存在实数t,使得向量-t与向量垂直?若存在,求出实数t的值;若不存在,说明理由.

解:(1)由点A(-1,2),B(-5,4),C(1,-1)

可知=(-4,2),=(2,-3).

由+=(-2,-1),得|+|=.

由-=(-6,5),得|-|=.

故以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为,.

(2)存在由向量-t与向量垂直,

得(-t)·=0,

又因为=(-5,4),

-t

=(2,-3)-t(-5,4)

=(2+5t,-3-4t).

所以(2+5t)×(-5)+(-3-4t)×4=0,

所以t=-.

应用创新

13. (多选题)如图,在平面四边形ABCD中,等边△ABC的边长为2,

∠ADC=30°,AC⊥CD,点M为边AB上一动点,记λ=·,则λ的取值可以是(　CD　)

(A)-4 (B) 

(C)5 (D)10

解析:以A为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设AM=t∈[0,2].则M(-t,t),C(1,),D(4,0).

故λ=·=(-t-4,t)·(-t-1,t-)=t2+t+4+t2-t=

t2+t+4 在t∈[0,2]上为增函数,

故λ=t2+t+4∈[4,10].故选CD.

14.已知平面直角坐标系xOy中有三点A(1,-1),B(4,5),C(-2,1),其中O为坐标原点.

(1)求与同向的单位向量d的坐标.

(2)若点P是线段AB(包括端点)上的动点,求·的取值范围.

解:(1)d==×(3,6)=(,).

(2)因为平面直角坐标系xOy中点A(1,-1),B(4,5),

所以线段AB的方程为=(1≤x≤4),即y=2x-3(1≤x≤4).

设P(x,2x-3),1≤x≤4.

则=(-x,3-2x),=(-2-x,4-2x),

所以·=(-x)×(-2-x)+(3-2x)×(4-2x)=5x2-12x+12,

上式可以看作关于x的开口向上,对称轴为x=的二次函数.

当x=时,5x2-12x+12取得最小值,

当x=4时,5x2-12x+12取得最大值44,

所以·∈.