人教版高中数学必修第二册第十章概率课时学案

10.2　事件的相互独立性

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相互独立事件

对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.

(1)如果A与B相互独立,则与B,A与,与也相互独立.

(2)与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:

1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　D　)

(A)互斥事件 (B)相互独立事件

(C)对立事件 (D)不相互独立事件

解析:根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.故选D.

2.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=.故选D.

3.甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中都不是一等品的概率为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设事件A:甲实习生加工的零件为一等品,事件B:乙实习生加工的零件为一等品,则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中都不是一等品的概率为P( )=(1-)×(1-)=.故选D.

4.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内,甲、乙两个气象台只有一个预报天气准确的概率是　　　. 

解析:记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B,则甲、乙两个气象台只有一个预报天气准确的概率是

P=×(1-)+(1-)×=.

答案:

　事件的独立性的判断

[例1] (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(　　)

(A)相互独立但不互斥

(B)互斥但不相互独立

(C)相互独立且互斥

(D)既不相互独立也不互斥

(2)抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是(　　)

(A)互斥事件 

(B)对立事件

(C)相互独立事件 

(D)不相互独立事件

解析:(1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.

(2)由已知,有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.故选C.

(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

即时训练1-1:袋中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得黑球,A2表示第二次摸得黑球,则A1与是(　　)

(A)相互独立事件 (B)不相互独立事件

(C)互斥事件 (D)对立事件

解析:根据相互独立事件的概念可知,A1与A2相互独立,A1与也相互独立.故选A.

即时训练1-2:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的有　　　　.(填序号) 

①A,B;②A,C;③B,C.

解析:根据事件相互独立的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.

答案:①②③

　求独立事件的概率

[例2] 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响.

(1)求3人同时被选中的概率;

(2)求3人中至少有1人被选中的概率.

解:记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,

则P(A)=,P(B)=,P(C)=.

(1)3人同时被选中的概率为

P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.

(2)法一　3人中有2人被选中的概率

P2=P(AB∪AC∪BC)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××　=.

3人中只有1人被选中的概率为

P3=P(A ∪B∪ C)

=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=.

故3人中至少有1人被选中的概率为++=.

法二　由于“至少有1人被选中”的对立事件是“3人均未被选中”,得3人中至少有1人被选中的概率为P=1-P( )=1-(1-)×(1-)×(1-)=.

变式训练2-1:若本例条件“3人能被选中的概率分别为,,”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为,两人都被选中的概率为,丙被选中的概率为”,求恰好有2人被选中的概率.

解:设甲被选中的概率为P(A),

乙被选中的概率为P(B),

则P(A)(1-P(B))+P(B)(1-P(A))=,①

P(A)P(B)=,②

由①②知P(A)=,P(B)=,

故恰好有2人被选中的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.

变式训练2-2:本例中的条件不变,试求“3人中几人同时被选中的概率最大”.

解:由例2的解法可知,3人中有1人被选中的概率为P1=,

3人中有2人被选中的概率为P2=,

3人中有3人被选中的概率为P3=,

由P1>P2>P3,可知3人中有1人被选中的概率最大.

此外,当题目中涉及“至少”“至多”问题,也可以从对立事件入手计算概率.

[备用例1] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.

(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;

(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.

解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.

(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,

则C=AB,

所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.

(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=B,

所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.

　相互独立事件与互斥事件的综合应用

[例3] 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:

(1)两件产品都是正品的概率;

(2)恰有一件是正品的概率;

(3)至少有一件是正品的概率.

解:用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”,则C=(A)∪(B),D=C∪(AB).

(1)由题意知,A与B是相互独立事件,

P(B)=1-P()=1-0.05=0.95,

P(A)=0.96,

所以两件都是正品的概率为

P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912.

(2)由于事件A与B互斥,

所以恰有一件是正品的概率为

P(C)=P(A∪B)

=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)

=0.96×0.05+0.04×0.95=0.086.

(3)由于事件AB与C互斥,

所以P(D)=P(AB∪C)

=P(AB)+P(C)

=0.912+0.086=0.998.

即时训练3-1:有三种产品,合格率分别为0.9,0.85,0.85,各抽取一件进行检验,求:

(1)恰有一件不合格品的概率;

(2)至少有两件不合格品的概率.

解:记“三种产品各抽取一件,抽取的是合格产品”的事件分别为A,B,C,P(A)=0.9,P(B)=0.85,P(C)=0.85.由题意知A,B,C相互独立.

(1)“恰有一件不合格品”的事件有BC,AC,AB三种情况,其概率为

P=P(BC+AC+AB)

=P(BC)+P(AC)+P(AB)

=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+

P(A)P(B)P()

=0.1×0.85×0.85+0.9×0.15×0.85+0.9×0.85×0.15≈0.301 75.

(2)至少有两件不合格品的概率为

P=P( + C+B+A )

=(1-0.9)×(1-0.85)×(1-0.85)+2×(1-0.9)×(1-0.85)×0.85+0.9×0.15×0.15=0.048.

[备用例2] 甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.

(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率;

(3)求经过5局比赛,比赛结束的概率.

解:记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5),“第j局乙获胜”为事件Bj(j=3,4,5).

(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,

则A=A3A4∪B3B4,

由于各局比赛结果相互独立,故

P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=

P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.

(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲再胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,

由于各局比赛结果相互独立,故

P(B)=P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)

=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6

=0.648.

所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.

(3)经过5局比赛,甲获胜的概率为

P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288;

经过5局比赛,乙获胜的概率为

P(A3B4B5)+P(B3A4B5)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4=0.192.

所以经过5局比赛,比赛结束的概率为0.288+0.192=0.48.

1.掷一枚质地均匀的骰子一次,记A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　B　)

(A)互斥事件

(B)相互独立事件

(C)既互斥又相互独立事件

(D)既不互斥又不相互独立事件

解析:因为该试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},

所以P(A)=,P(B)=,

P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.故选B.

2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则两人同时命中的概率为(　D　)

(A)0.45 (B)0.6 (C)0.2 (D)0.3

解析:设目标被甲击中为事件A,目标被乙击中为事件B,则事件AB表示两人同时命中,

所以P(AB)=0.6×0.5=0.3.故选D.

3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是　　　　. 

解析:“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)==,“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)==,事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.

答案:

4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为　　　　. 

解析:因为甲、乙两人是否被录取相互独立,

所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,

所以由对立事件和相互独立事件概率公式知,

P=1-(1-0.6)×(1-0.7)=1-0.12=0.88.

答案:0.88

选题明细表

基础巩固

1.下列事件A,B是相互独立事件的是(　A　)

(A)一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”

(B)袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”

(C)掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”

(D)A=“一个灯泡能用1 000小时”,B=“一个灯泡能用2 000小时”

解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,其结果具有唯一性,A,B应为互斥事件;D中事件B受事件A的影响.故选A.

2.(多选题)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　ACD　)

(A)运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”

(B)甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”

(C)甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”

(D)甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”

解析:在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,两者是互斥事件,不独立;

在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,两者是相互独立事件;

在C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标“不可能同时发生,两者是互斥事件,不独立;

在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不独立.故选ACD.

3.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,

从两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是

P=×+×=.故选B.

4.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设儿童体型合格的概率为事件A,身体关节构造合格的概率为事件B.

则P(A)=,P(B)=,且A,B相互独立,

从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率P=1-P( )=1-×=.

故选B.

5.已知甲运动员的投篮命中率为0.6,若甲投篮两次(两次投篮命中与否互不影响),则其两次投篮都没命中的概率为　　　. 

解析:甲运动员投篮未命中的概率为1-0.6=0.4且两次投篮命中与否相互独立,

所以两次都没命中的概率为0.4×0.4=0.16.

答案:0.16.

能力提升

6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为,,,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意得该选手能进入第四关的概率为P=××=.故选A.

7.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　B　)

(A)甲10张,乙2张 (B)甲9张,乙3张

(C)甲8张,乙4张 (D)甲6张,乙6张

解析:由题意知继续比赛下去,甲获胜的概率为+×=,乙获胜的概率为×=,所以甲应分得 12×=9张牌,乙应分得12×=3张牌.故选B.

8.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为 0.6 和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　B　)

(A)0.8 (B)0.75 (C)0.6 (D)0.25

解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,

则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,

则P(A)=,P()=1-=,

P(B)=p,P()=1-p,

依题意得×(1-p)+×p=,解得p=.故选B.

9.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　B　)

 (A) (B) (C) (D)

解析:设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,所以

P(E)=P(ABC∪AB∪AC)

=P(ABC)+P(AB)+P(AC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+

P(A)P()P(C)

=××+××(1-)+×(1-)×=.故选B.

10.甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,球的大小、形状完全相同,现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是　　　　　. 

解析:分两种情况讨论如下:

①当从甲袋中取出黄球时,则乙袋中有3个黄球和2个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为×=;

②当从甲袋中取出红球时,则乙袋中有2个黄球和3个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为×=.

综上,所求概率为+=.

答案:

11.某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于两个家庭回答正确这道题的概率.

解:(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A,B,C,则P(A)=,

且有

即

所以P(B)=,P(C)=.

(2)有0个家庭回答正确的概率为

P0=P( )=P()P()P()=××=.

有1个家庭回答正确的概率为

P1=P(A +B+ C)

=××+××+××=.

所以不少于两个家庭回答正确这道题的概率为

P=1-P0-P1=1--=.

应用创新

12.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲胜、乙胜的概率都为,则这场比赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为(　B　)

(A)6∶1 (B)7∶1 (C)3∶1 (D)4∶1

解析:甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜为事件A1,则P(A1)=;②甲第3局负、第4局胜为事件A2,则P(A2)=×=;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为事件A3,

则P(A3)=××=.

故甲胜的概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=,乙胜的概率则为.故选B.

13.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,开始记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为　　　. 

解析:甲胜出的情况是甲在三场比赛中三胜或两胜一平,

所以甲胜出的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×(1-0.8-0.1)+0.5×(1-0.6-0.2)×0.8+(1-0.5-0.3)×0.6×0.8=0.446.

答案:0.446