人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式课时训练含答案

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　一元二次不等式

选题明细表

基础巩固

1.(多选题)下面所给关于x的几个不等式其中一定为一元二次不等式的有(　BD　)

(A)>3        (B)x2+mx-1>0

(C)ax2+4x-7≤0  (D)x2<0

解析:一元二次不等式的形式为ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0(a≠0),故BD为一元二次不等式.故选BD.

2.(多选题)下列四个不等式,其中解集为的是(　CD　)

(A)x2+6x+10>0

(B)x2-2x+>0

(C)-2+3x-2x2>0

(D)2x2-3x+4<1

解析:A中,Δ=62-4×10=-4<0,解集为R;

B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为;

C中,不等式-2+3x-2x2>0可化为2x2-3x+2<0,因为Δ=(-3)2-4×2×2= -7<0,所以不等式-2+3x-2x2>0的解集为;

D中,原不等式等价为2x2-3x+3<0,因为Δ=(-3)2-4×2×3=-15<0,所以不等式的解集为.故选CD.

3.若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2<x<3},则不等式bx2+ax+c<0的解集是(　D　)

(A){x|-3<x<2}   (B){x|-2<x<3}

(C){x|x<-2或x>3} (D){x|x<-3或x>2}

解析:不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2<x<3},所以方程ax2-bx+c=0的解是-2和3,且a<0,所以

解得b=a,c=-6a,

所以不等式bx2+ax+c<0可化为ax2+ax-6a<0,

即x2+x-6>0,解得x<-3或x>2,

所以所求不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.故选D.

4.不等式x(x-a+1)>a的解集是{x|x<-1或x>a},其中a≠-1,则a的取值范围为　　　　. 

解析:x(x-a+1)>a⇔(x+1)(x-a)>0.

因为解集是{x|x<-1或x>a},所以a>-1.

答案:{a|a>-1}

5.已知关于x的不等式(kx-k2-6)(x-4)>0,若k=-2,不等式的解集为　　　　　　;若k>0,不等式的解集为　　　　　　. 

解析:k=-2时,不等式为(-2x-10)(x-4)>0,

即(x+5)(x-4)<0,

所以-5<x<4,即解集为{x|-5<x<4};

当k>0时,不等式可化为(x-)(x-4)>0,

又=k+≥2>4,

所以x<4或x>,

即解集为{x|x<4或x>}.

答案:{x|-5<x<4}　{x|x<4或x>}

能力提升

6.若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-4<x<1},则不等式b(x2-1)+ a(x+3)+c>0的解集为(　A　)

(A){x|-<x<1} (B){x|x<1或x>}

(C){x|-1<x<4} (D){x|x<-2或x>1}

解析:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-4<x<1},

所以可得c=-4a,b=3a,且a<0,所以不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为3x2+x-4<0,解得-<x<1.故选A.

7.不等式组的解集是(　B　)

(A){x|2<x<3} 

(B){x|1<x<或2<x<3}

(C){x|x<或x>3} 

(D){x|x<1或x>2}

解析:因为x2-4x+3<0,

所以(x-1)(x-3)<0,

所以1<x<3.

又因为2x2-7x+6>0,

所以(x-2)(2x-3)>0,

所以x<或x>2,

所以原不等式组的解集为{x|1<x<3}∩{x|x<或x>2}={x|1<x<或2<x<3}.

故选B.

8.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的是(　AC　)

(A)a<0

(B)c>0

(C)cx2+bx+a>0的解集为{x|<x<}

(D)cx2+bx+a>0的解集为{x|x<或x>}

解析:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,

所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以A正确;

由解得

因为m>0,m<n,所以n>0,

又由于a<0,所以c=mna<0,所以B错误;

不等式cx2+bx+a>0可化为mnax2-(m+n)ax+a>0,

即mnx2-(m+n)x+1<0,

即(mx-1)(nx-1)<0.

因为n>m>0,所以<,

所以不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|<x<},

所以C正确,D错误.故选AC.

9.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2},则下列结论中正确的是(　ABC　)

(A)x1+x2=2 (B)x1x2<-3

(C)x2-x1>4 (D)-1<x1<x2<3

解析:由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2},

所以a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.

所以x1+x2=2,x1x2==-3<-3.

x2-x1===2>4.

由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的.故选ABC.

10.若关于x的不等式ax2-2x+3>0的解集为{x|-3<x<1},则实数a=　　　　. 

解析:关于x的不等式ax2-2x+3>0的解集为{x|-3<x<1},

所以关于x的方程ax2-2x+3=0的实数根为-3和1,

由根与系数的关系知,=-3×1,解得a=-1.

答案:-1

11.不等式|x2-x|<6的解集是　　　   　,不等式x2-3|x|<0的解集是　　　　　　　　. 

解析:由|x2-x|<6,得-6<x2-x<6,即

解得-2<x<3.

因为x2-3|x|<0,

所以或

所以0<x<3或-3<x<0.

所以不等式的解集为{x|-3<x<0或0<x<3}.

答案:{x|-2<x<3}　{x|-3<x<0或0<x<3}

12.已知不等式x2+x-6<0的解集为A,不等式x2-2x-3<0的解集为B.

(1)求A∩B;

(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+bx+3<0的解集.

解:(1)由x2+x-6<0得-3<x<2.

所以A={x|-3<x<2}.

由x2-2x-3<0,得-1<x<3,

所以B={x|-1<x<3}.

所以A∩B={x|-1<x<2}.

(2)由已知得

解得

所以-x2-2x+3<0,

即x2+2x-3>0,

解得x<-3或x>1.

所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.

应用创新

13.设m∈R,不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0的解集记为集合P.

(1)若P={x|-1<x<2},求m的值;

(2)当m>0时,求集合P.

解:(1)由题意可知,关于x的方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0的两根分别为-1,2,

所以m≠0,由韦达定理可得

解得m=-.

(2)当m>0时,由mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0可得(mx-m-1)(x-2)>0,

解方程(mx-m-1)(x-2)=0,

可得x=>0或x=2.

①当<2时,即当m>1时,P={x|x<或x>2};

②当=2时,即当m=1时,原不等式为(x-2)2>0,则P={x|x≠2};

③当>2时,即当0<m<1时,P={x|x<2或x>}.

综上所述,当m>1时,P={x|x<或x>2};

当m=1时,P={x|x≠2};

当0<m<1时,P={x|x<2或x>}.