人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质课时训练含答案

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第2课时　函数的最大(小)值选题明细表知识点、方法题号函数最值概念的理解及求法1,3,4二次函数最值问题2,5,11函数最值的应用6,7,8,9,10,12,13,14基础巩固1.函数f(x)=的最小值是(　B　)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:当x>-1时,f(x)=x2的最小值为f(0)=0;当x≤-1时,f(x)=-x递减,可得f(x)≥1,综上可得函数f(x)的最小值为0.故选B.2.函数y=x2-x+1,x∈[-1,1]的最大值与最小值之和为(　B　)(A)1.75 (B)3.75 (C)4 (D)5解析:函数y=x2-x+1的对称轴方程为x=,且函数在(-1,)上单调递减,在(,1)上单调递增,所以ymax=(-1)2-(-1)+1=3,ymin=()2-+1=,所以ymax+ymin=3+=3.75.故选B.3.下列说法正确的是(　A　)(A)若函数f(x)的值域为[a,b],则f(x)min=a,f(x)max=b(B)若f(x)min=a,f(x)max=b,则函数f(x)的值域为[a,b](C)若f(x)min=a,直线y=a不一定与f(x)的图象有交点(D)若f(x)min=a,直线y=a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点解析:若函数f(x)的值域为[a,b],则最小的函数值即f(x)min=a,最大的函数值即f(x)max=b,A对,f(x)min=a,f(x)max=b,区间[a,b]上的某些元素可能不是函数值,因而[a,b]不一定是值域,B错.若f(x)min=a,由定义一定存在x0使f(x0)=a,即f(x)与直线y=a一定有交点,但不一定唯一,C,D都错.故选A.4.(多选题)下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是(　AD　)(A)当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1(B)当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1(C)当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1(D)当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1解析:当a<0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1.当a>0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.故选AD.5.函数f(x)=的最大值是　　　　. 解析:t=1-x(1-x)=(x-)2+≥.所以0<f(x)≤,即f(x)的最大值为.答案:6.已知函数f(x)=-,则函数f(x)在(0,+∞)上　　　　(填“单调递增”或“单调递减”),若f(x)在[,2]上的值域是[,2],则a的值是　　　     　. 解析:由于函数y=-在区间(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)=-在(0,+∞)上单调递增.因此函数f(x)在[,2]上单调递增,所以f()=-2=,且f(2)=-=2,解得a=.答案:单调递增　能力提升7.函数g(x)=-2x+的最大值为(　C　)(A)- (B)-2 (C) (D)解析:函数g(x)=-2x+(x≥-1),设=t,t≥0,则x=t2-1,则h(t)=-2(t2-1)+t=-2t2+t+2=-2(t2-t)+2=-2(t-)2+.结合函数h(t)在[0,+∞)上的图象(如图所示),可知h(t)max=h()=,所以g(x)的最大值为.8.已知函数f(x)=x2+ax+4,若对任意的x∈(0,2],f(x)≤6恒成立,则实数a的最大值为(　A　)(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:原问题可转化为a≤=-x对任意的x∈(0,2]恒成立.因为y=-x在(0,2]上单调递减,所以ymin=1-2=-1,所以a≤-1,所以实数a的最大值为-1.故选A.9.函数y=2x+,则(　A　 )(A)有最大值,无最小值(B)有最小值,无最大值(C)有最小值,最大值(D)既无最大值,也无最小值解析:设=t(t≥0),则x=,所以y=1-t2+t=-(t-)2+(t≥0),对称轴t=∈[0,+∞),所以y在[0,]上递增,在[,+∞)上递减,所以y在t=处取得最大值,无最小值.故选A.10.已知函数f(x)=,且f(1)=3,则a=　　　　;函数f(x)在[2,4]上的最小值为　　　　. 解析:因为f(1)=3,所以f(1)==3,所以a=1,所以f(x)=.设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-).由2≤x1<x2可知x1-x2<0,x1x2≥4,≤,1-≥1->0.所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.因此函数f(x)在区间[2,4]的最小值为f(2)=3.答案:1　311.(2021·重庆一中等校高一联考)已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1,其中x∈R.则f(x)-的最小值为　　　　.解析:由2f(x)-f(-x)=x2-3x+1可知2f(-x)-f(x)=x2+3x+1,与已知联立可解得f(x)=x2-x+1=(x-)2+≥,令t=f(x),t≥,则g(t)=t-,t≥.易知函数g(t)在[,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g()=-,即所求最小值为-.答案:-12.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≤3.解:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,所以f(2)=3.(2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f(2).因为f(x)是(0,+∞)上的减函数.所以解得m≥4,所以不等式的解集为{m|m≥4}.13.轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距s(单位:km),水流速度为p(单位:km/h),轮船在静水中的最大速度为q(单位:km/h)(p,q为常数,且q>p),已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(单位:km/h)成正比,比例系数为常数k.(1)将全程燃料费用y(单位:元)表示为静水中速度v(单位:km/h)的函数;(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,为了使全程的燃料费用最少,轮船的实际行驶速度应为多少?解:(1)因为轮船行驶全程的时间t=,所以y=(p<v≤q).(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,则y==200(1+)(10<v≤110).由于f(v)=在(10,110]上是减函数,所以当v=110时,函数y==200(1+)取得最小值,且最小值为220.即当轮船的实际行驶速度为110 km/h时,全程的燃料费用最少.应用创新14.已知f(x)=2x+-1.若x>0时,f(x)+a+1≥0恒成立,则a的取值范围是　　　　;若对任意x∈[,+∞)都有f(x)≥恒成立,则实数t的取值范围是　　　　. 解析:因为x>0时,f(x)+a+1≥0恒成立,则2x++a≥0恒成立,即x>0时,a≥-(2x+)恒成立.因为x>0时,2x+≥2=2(当且仅当x=时取等号).所以-(2x+)≤-2,所以a≥-2.又因为x∈[,+∞)时,f(x)≥恒成立,所以t≤2x2-x+1=2(x-)2+,因为x≥,所以2(x-)2+≥1,所以t≤1.答案:[-2,+∞)　(-∞,1]