第六章 平面向量及其应用全章总结 (精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

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第六章全章总结 (精讲）1、平面向量的线性运算及坐标运算1．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A.2．（2022·全国·高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C.3．（2022·新疆·一模（理））已知平面向量，满足，，点D满足，为的外心，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设又，知，解得，又E为的外心，，，为等边三角形，，∴，∴．故选：A 4．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.【答案】【详解】解：设，则，即，，∴，由已知得，∴，解得，故答案为：.2、平面向量的数量积及应用1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））如图的弦图中，四边形是边长为5的正方形，四边形是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，设，则，在直角三角形中，，即，   .故选：D.2．（2022·贵州金沙·高二阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（    ）A． B． C．0 D．2【答案】B【详解】如图，取的中点，则．因为，所以，，三点共线．连接并取的中点，连接，则．因为，，，，所以．又，所以，．当时，最小，且最小值为，所以的最小值为．故选：B.3．（2022·北京·人大附中高二期末）如图，正方体的边长为6，点，分别在边，上，且，．点在正方形的边上，且，则满足条件的点的个数是（    ）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，建系如图：因为正方形边长为6，，，所以 若点在边上，设，则，，即，，无解；若点在边上，设，则，，则或，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，，即，，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，，则或，故在边上有两个点满足条件；综上所述，共有6个点满足条件.故选：D.4．（2022·山东·新泰市第一中学高三期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，圆的方程为，可设，所以，故．所以当，即时，的最大值为，故选：D．5．（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，，，为的中点，，交于，则（    ）A．-6 B．-3 C．3 D．6【答案】A【详解】设，∵，，三点共线，故，故，∴.故选：A.3、平面向量的共线1．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于与，（三角形顶点不重合）两点，且，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是△ABC的重心，所以，又，，所以，因为三点共线，所以，即，显然，，所以，当且仅当，即，时，等号成立．所以的最小值是．故选：A．2．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是______.【详解】平面向量基本定理，借助三点共线可知：，得 解得 ，所以故答案为：.3．（2022·全国·高一单元测试）如图，在中，，，，若延长到点，使，当点在线段上移动时，设，当取最大值时，的值是___________.【答案】##【详解】，，所以，所以，又，所以，，设，由于在上，所以，又，即，化简得，由得，所以，（），所以，所以时，，．故答案为：．4．（2022·黑龙江·高三期中（理））在中，，是上的点，若，则实数的值为________．【答案】【详解】∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三点共线，∴，∴．故答案为：5．（2020·安徽马鞍山·高一阶段练习）如图在平行四边形中，为的中点， ，与交于点.若，且与不垂直，则__________.【答案】【详解】设，所以，，，又，所以，所以，则，则，解得，所以，因为，所以,即，因为AE与BF不垂直，所以，所以，即.故答案为：4、平面向量的夹角与垂直1．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．2【答案】D【详解】解：因为，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.2．（2022·山东烟台·高三期末）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知可得，，因此，.故选：D.3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知向量，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，又因为，设 与的夹角为 ， ，所以 ，即 ，解得 ，故 ，故选：A.4．（2022·浙江·高三学业考试）已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数都成立，则向量夹角的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设向量夹角为，设向量与的夹角为，，由，得，所以，所以，所以所以，所以对任意实数λ都成立，即恒成立，当，即，得，上式恒成立，当时，即，，，所以得，因为，所以综上，，所以向量夹角的最大值是，故选：B5．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，由，共线得，得，故.故选:D.6．（2022·西藏·林芝一中模拟预测（理））已知，均为单位向，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设单位向量，的夹角为，，则，||=1，；因为，所以，即，即，所以，即与的夹角为30°.故选：A.5、向量的模与距离1．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形中，，，，，是的中点，则（    ）A． B． C．3 D．9【答案】C【详解】因为，，所以，故选：C2．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（文））已知平面向量的夹角为，且，则（    ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【详解】因为向量的夹角为，且，所以，故选：B3．（2022·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，满足：，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，，，，所以，，得 ，所以，故选：D5．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知平面向量，满足，与的夹角为，记 ，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图，作，，使得，则满足题意，设，则点在直线上，点到直线的距离为，即为的最小值．所以的取值范围是．故选：A．6．（2022·北京·清华附中高一期中）已知，，，，在同一平面内，，且，则的最大值为（    ）．A． B． C． D．4【答案】B【详解】解：，，又，．，当、同向，且与反向时，取得最大值，故选：B．7．（2022·浙江·高三专题练习）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】B【详解】解：由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，，（当且仅当时取等号）．故选：．6、平面向量与其它知识的交汇题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知，，且.（1）求的单调递增区间.（2）在锐角中，，，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；（2）.（1）因为，，所以，令，可得，，所以的单调递增区间是.（2）因为，所以，因为，所以，所以，，可得，，在中，由正弦定理得，即，因为为锐角三角形，所以即，所以，，，所以，所以的取值范围是.2．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，内角的对边分别是，已知，点是的中点.（1）求的值；（2）若，求中线长度的最大值.【答案】（1）；（2）（1）解：因为b＝acos C＋csin A，根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A，所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A，所以cos Asin C＝sin Csin A.因为sin C≠0，所以tan A＝.又0＜A＜π，所以A＝.（2）解：在ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，所以b2＋c2≤6.因为AM是BC边上的中线，所以＝，两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝，当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值.7、应用正弦定理、余弦定理解决平面几何问题1．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形中，，，．（1）求的长；（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）（2）（1）在△ABD中，由cos ∠ABD＝，得∠ABD＝45°．又∠BAD＝60°，所以∠ADB＝75°，所以sin ∠ADB＝sin 75°＝sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，由正弦定理得＝，得AB＝＝．（2）由∠BAD＋∠BCD＝180°，可知∠BCD＝120°，设CD＝x，所以在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，则7＝1＋x2－2x·cos 120°，化简x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3（舍）．∴S△BCD＝BC·CDsin 120°＝×1×2×＝，S△ABD＝AB·BDsin ∠ABD＝×××＝．所以S＝S△ABD＋S△BCD＝＋＝．2．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图所示，在圆内接四边形中，为对角线的中点，，，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）（1）根据题意，，两边平方得，即，解得或（舍去），即．（2）由余弦定理可得，所以，由题意知，所以，所以．根据正弦定理得，因此3．（2022·广东·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知，点为边上的点，且.（1）求的面积.（2）求线段的长.【答案】（1）（2）（1）方法一:在中，为锐角，由正弦定理可得，，，又为锐角，，，方法二：在中，为锐角，，由余弦定理可得，.，，，或（舍去），，（2）方法一：在中，，在中，由余弦定理得，,方法二：在中由余弦定理可得:，，在中由余弦定理可得，,.4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某住宅小区的平面图是圆心角为的扇形．，某人从沿走到用了10min，从沿走到用了6min．若此人步行的速度为每分钟50m，求该扇形的半径的长．（精确到1m）【答案】445m【详解】设扇形半径m，连接OC，如图，依题意，m，m，在中，m，，由余弦定理得：，即，化简整理得：，解得：(m)，所以该扇形的半径OA的长约为445m.5．（2022·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四边形中，，且,．（1）求的长；（2）若        ，求的面积．从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1） （2）选①时：;选②时：（1）由，得,,,在中，由余弦定理得：,,（2）选①时:由（1）可知，，，在中，,,;选②时: 由（1）可知，，在中，由余弦定理得,,即，，.6．（2022·河南·高三阶段练习（理））在平面四边形中，记和的面积分别为和.（1）求的最大值；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）（1）设.，故，当且仅当时取等.此时，能够形成和.（2），由余弦定理得：在中，，在中，，即，化简得，结合图形得，从而，整理得，故时，的最大值为．8、正弦定理、余弦定理与其它知识的综合1．（2022·湖南·周南中学高二开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于________．【答案】【详解】解：由题意可知：，而，，三点共线，则：，据此有：，当且仅当，时等号成立，取到最小值，此时，，所以.故答案为：.2．（2022·四川成都·一模（理））在中，已知角，角的平分线与边相交于点，.则的最小值为___________.【答案】【详解】，依题意是角的角平分线，由三角形的面积公式得，化简得，，.当且仅当，时等号成立.故答案为：3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知锐角中，角，，所对的边分别是，，，满足，且，则的取值范围是___________.【答案】【详解】由和余弦定理，得：，所以.因为，所以.由正弦定理，得.因为为锐角三角形，所以，且，即，，则.故答案为：.4．（2022·河南·永城高中高二期中（理））在中，角的对边分别为，则的最小值是________．【答案】【详解】在中，由正弦定理得，当且仅当时等号成立，由，即时，取最小值．故答案为：．5．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知，，为上一点，且为的角平分线，则的最小值为___________.【答案】16【详解】为的角平分线，，由等面积法，所以，所以（当且仅当时等号成立），即最小值为16.故答案为：166．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））在中，角的对边分别为，，，若，且，，为等差数列，则______.【答案】【详解】，则，∵、、等差，有，∴，，，而，∴由正弦定理知：.故答案为：.