高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质同步达标检测题

第二章 平面解析几何

2.6双曲线及其方程

2.6.2 双曲线的几何性质

知识梳理

常见考点

考点一 双曲线的焦点、焦距

典例1．双曲线的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

变式1-1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（       ）

A．3 B．6 C．9 D．12

变式1-2．双曲线的焦距等于（       ）

A． B． C． D．

变式1-3．双曲线的焦距为（       ）

A．6              B．12            C．36            D．

考点二 双曲线的顶点、轴长

典例2．双曲线2y2－x2＝1的一个顶点坐标是（       ）

A．(，0)       B．       C．(0，)        D．

变式2-1．双曲线的实轴长为（       ）

A．1 B． C．2 D．

变式2-2．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（       ）

A． B． C． D．

变式2-3．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为

A． B． C． D．

考点三 双曲线的渐近线

典例3．双曲线的渐近线方程是（          ）

A．       B．         C．       D．

变式3-1．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（       ）

A． B．9 C． D．3

变式3-2．点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）.

A． B． C． D．

变式3-3．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

考点四 求双曲线的离心率

典例4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

变式4-1．已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

变式4-2．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（       ）

A．            B．           C．           D．

变式4-3．已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．2

考点五 求双曲线离心率的取值范围

典例5．已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

变式5-1．若双曲线与直线没有交点，双曲线离心率取值范围为（       ）

A． B． C． D．

变式5-2．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式5-3．已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）

A．         B．（1，2）       C．        D．

考点六 由离心率求参数或参数的范围

典例6．已知双曲线的离心率为，则的值是（       ）

A． B．9 C． D．15

变式6-1．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

变式6-2．双曲线离心率是2，则m的值是（       ）

A．1 B．－1 C． D．

变式6-3．已知双曲线的离心率为，若则的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

考点七 由几何性质求双曲线方程

典例7．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．

变式7-1．双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

变式7-2．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，则C的方程为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

变式7-3．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ）

A． B． C． D．

巩固练习

练习一 双曲线的焦点、焦距

1．双曲线的焦点坐标为（        ）

A． B． C． D．

2．双曲线的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．双曲线的焦距是（       ）

A． B． C． D．

4．双曲线的焦距为（       ）

A． B． C． D．

练习二 双曲线的顶点、轴长

5．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于

A．6 B．8 C．9 D．10

6．双曲线的虚轴长（       ）

A．3 B．6 C．9 D．2

7．双曲线：的实轴长为（       ）

A． B． C．4 D．2

8．已知双曲线方程为，则（       ）

A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4

C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为

练习三 双曲线的渐近线

9．双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（       ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

练习四 求双曲线的离心率

13．点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（       ）

A． B． C． D．

14．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

16．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

练习五 求双曲线离心率的取值范围

17．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

18．已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

19．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

20．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

练习六 由离心率求参数或参数的范围

21．双曲线的离心率为2，则k的值为（     ）

A．-35 B．19 C．-5 D．12

22．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（       ）

A．1 B．4或1 C．3 D．4

23．若双曲线的离心率，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

24．若双曲线的离心率大于2，则正数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

练习七 由几何性质求双曲线方程

25．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为

A． B． C． D．       

26．已知双曲线的右焦点为，离心率为，若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

27．在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C．或 D．

28．过点，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（       ）

A． B． C． D．