人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课后测评

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课后测评，文件包含272抛物线的几何性质-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练人教B版2019选择性必修第一册解析版docx、272抛物线的几何性质-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练人教B版2019选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

第二章 平面解析几何
2.7抛物线及其方程
2.7.2 抛物线的几何性质
知识梳理
方程




图形




焦点




准线




对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
注意：
(1) 焦半径：，；焦点弦：
(2) ，
(3) 以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切
(4)
(5)
(6) 中点弦：（中点坐标和斜率的关系）

常见考点
考点一 抛物线的焦半径
典例1．过焦点为的抛物线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设，由可构造方程求得，利用抛物线焦半径公式可求得结果.
【详解】
由抛物线方程知：，准线方程为：；
设，则，，解得：，
由抛物线焦半径公式知：.
故选：A.
变式1-1．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点. 若，则点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出抛物线的准线方程，设，根据焦半径公式求出，再代入抛物线方程求出，即可得解；
【详解】
解：抛物线，
，
抛物线的准线方程是，
设，
，
，解得，所以，解得，
故点的坐标为或．
故选：D
变式1-2．已知O是坐标原点，P是抛物线上一点，焦点为F，且，则（        ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义及两点间的距离即可求解.
【详解】
由，得，解得，所以，
设，则
由抛物线的定义知，，又，
所以，解得，
因为点是抛物线上一点，
所以，解得，所以，
所以.
故选：A.
变式1-3．设F为抛物线的焦点，点为C上一点，过P作y轴垂线，垂足为A，若，则（       ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义进行转化求解即可.
【详解】
根据抛物线的定义，可知，即有，解得，所以，
故选：C．

考点二 抛物线的焦点弦
典例2．过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，所以．故选B．
考点：抛物线的焦点弦长．
变式2-1．已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于点，则（       ）
A． B．16 C．12 D．
【答案】C
【解析】
联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.
【详解】
由题意得，所以过焦点.
设，
则.
联立得，
所以.
又，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题.
变式2-2．已知，是抛物线上的两个动点.当直线经过抛物线的焦点，且线段的中点的横坐标为1时，，则抛物线的准线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由抛物线过焦点的弦长公式可得，可求出的值，进而求出结果.
【详解】
解：设，的横坐标分别为，，则由抛物线焦点弦长公式可得：，
又由已知可得，，所以，
故抛物线的准线方程为：，
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点弦长公式，属于基础题.
变式2-3．已知抛物线的焦点为，直线经过点，且分别交于、两点，则（       ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理和焦半径公式可求的值.
【详解】
因为直线经过点，所以，故即，所以.
设，由可得，故，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦的长度计算，一般地，过抛物线 的焦点的直线与抛物线交于，则，本题属于基础题.

考点三 抛物线的面积问题
典例3．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，由，求得点P的横坐标，进而得到点P的纵坐标，由求解.
【详解】
因为抛物线，所以 ，
由抛物线的定义得：，
解得，则，
所以的面积为，
故选：A
变式3-1．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出，，再求出，最后根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
依题意可得，过的直线为,
联立，消去并整理得，
设、，
则，，
所以，
所以的面积为.
故选：D
变式3-2．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合图形可得为等边三角形，且边长为2，从而可求出其面积
【详解】
如图，由已知得，，，
，为等边三角形，又点到准线的距离为，
.
故选：C.

变式3-3．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则(O为坐标原点)的面积为（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
根据题意，设直线AB为，由，得到，联立方程组，得出，进而求得的值，结合面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点坐标为，
设直线AB为，，，
因为，可得，
由，整理得，所以，
又由，可得，解得或，
当时，，可得；
当时，，可得.
故选：D.

考点四 抛物线焦点线的其他几何性质
典例4．设过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上答案均有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
先找到的中点，然后设其到准线的距离是，再得到，到准线的距离，最后根据梯形中位线的关系可得到答案．
【详解】
设的中点是，到准线的距离是．
而到准线的距离，到准线的距离．
又到准线的距离是梯形的中位线，故有．
即圆心到准线的距离等于半径，所以，圆与准线是相切．
故选：B.
变式4-1．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F，其斜率k>0，且交抛物线于A，B(点A在x轴下方)两点，抛物线的准线为m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列结论不正确的是（       ）
A．若＝3，则k＝ B．＋＝1
C．若k＝1，则|AB|＝2 D．∠A1FB1＝90°
【答案】C
【解析】
【分析】
A设|FA|＝|AA1|＝t，由已知得|FB|＝|BB1|＝3t，再由三角形相似求|AQ|，即可确定直线的倾斜角，进而求结论；B、C若为直线l的倾斜角，由抛物线焦半径性质及相关公式结论即可判断正误；D抛物线定义易知∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA，进而可求∠A1FB1.
【详解】
A：记直线l交准线m于Q，设|FA|＝|AA1|＝t，由知：|FB|＝|BB1|＝3t，设|AQ|＝x，则△QAA1∽△QBB1，有，即，可得，可得∠A1AQ＝60°，则斜率k＝tan60°＝，正确.

B：若为直线l的倾斜角，如上图，，则，同理可得，故，正确.
C：设直线AB的倾斜角为θ，由k＝1则θ＝，由B分析可得：|AB|＝＝8，错误.
D：易知∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA，故∠B1FB＋∠A1FA＝×180°＝90°，从而∠A1FB1＝180°－90°＝90°，正确.
故选：C.
变式4-2．已知抛物线为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于两点，则下面结论不正确的是（       ）
A．以为直径的圆与抛物线准线相切 B．
C． D．记原点为，则
【答案】D
【解析】
设直线方程为，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得，由直线方程、抛物线方程可得，根据抛物线的定义，焦半径公式判断各选项．
【详解】
由题意知，令，直线方程为，与抛物线联立方 程，消去得
则
如图，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为
记的中点为，过点作抛物线准线的垂线，垂足为
由
所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，
故A正确.



故B正确.
由
所以
故C正确
如图，作于
则
经检验，当时
亦成立
故D错误．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：本题考查抛物线的焦点弦性质．本题ABC三个选项是抛物线焦点弦的性质，D选项结论改为．记住这些性质对解抛物线的焦点弦有关问题有帮助．
变式4-3．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则

①以线段为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆经过焦点；
③，，（其中点为坐标原点）三点共线；
④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；
则以上说法中正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
由抛物线的性质可判断①；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断②；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线的方程，联立方程组即可判断④.
【详解】
对于①，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确；
对于②，连接，如图，

因为，，
所以，所以，
所以即，
所以以为直径的圆经过焦点，故②正确；
对于③，设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又OA=x1,y1=y122p,y1,OB1=-p2,y2，
因为y122p=-p2⋅-y12p2，y2⋅-y12p2=y1y2⋅-y1p2=-p2⋅-y1p2=y1，
所以OA=-y12p2⋅OB1，所以，，三点共线，故③正确；
对于④，不妨设，则，
则直线，代入抛物线方程化简得，
则，
所以直线与该抛物线相切，故④正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.



巩固练习
练习一 抛物线的焦半径
1．过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设，由可构造方程求得，利用抛物线焦半径公式可求得结果.
【详解】
由抛物线方程知：，准线方程为：；
设，则，，解得：，
由抛物线焦半径公式知：.
故选：A.
2．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点. 若，则点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出抛物线的准线方程，设，根据焦半径公式求出，再代入抛物线方程求出，即可得解；
【详解】
解：抛物线，
，
抛物线的准线方程是，
设，
，
，解得，所以，解得，
故点的坐标为或．
故选：D
3．已知O是坐标原点，P是抛物线上一点，焦点为F，且，则（        ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义及两点间的距离即可求解.
【详解】
由，得，解得，所以，
设，则
由抛物线的定义知，，又，
所以，解得，
因为点是抛物线上一点，
所以，解得，所以，
所以.
故选：A.
4．设F为抛物线的焦点，点为C上一点，过P作y轴垂线，垂足为A，若，则（       ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义进行转化求解即可.
【详解】
根据抛物线的定义，可知，即有，解得，所以，
故选：C．

练习二 抛物线的焦点弦
5．过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，所以．故选B．
考点：抛物线的焦点弦长．
6．已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于点，则（       ）
A． B．16 C．12 D．
【答案】C
【解析】
联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.
【详解】
由题意得，所以过焦点.
设，
则.
联立得，
所以.
又，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题.
7．已知，是抛物线上的两个动点.当直线经过抛物线的焦点，且线段的中点的横坐标为1时，，则抛物线的准线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由抛物线过焦点的弦长公式可得，可求出的值，进而求出结果.
【详解】
解：设，的横坐标分别为，，则由抛物线焦点弦长公式可得：，
又由已知可得，，所以，
故抛物线的准线方程为：，
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点弦长公式，属于基础题.
8．已知抛物线的焦点为，直线经过点，且分别交于、两点，则（       ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理和焦半径公式可求的值.
【详解】
因为直线经过点，所以，故即，所以.
设，由可得，故，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦的长度计算，一般地，过抛物线 的焦点的直线与抛物线交于，则，本题属于基础题.

练习三 抛物线的面积问题
9．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，由，求得点P的横坐标，进而得到点P的纵坐标，由求解.
【详解】
因为抛物线，所以 ，
由抛物线的定义得：，
解得，则，
所以的面积为，
故选：A
10．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出，，再求出，最后根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
依题意可得，过的直线为,
联立，消去并整理得，
设、，
则，，
所以，
所以的面积为.
故选：D
11．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合图形可得为等边三角形，且边长为2，从而可求出其面积
【详解】
如图，由已知得，，，
，为等边三角形，又点到准线的距离为，
.
故选：C.

12．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则(O为坐标原点)的面积为（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
根据题意，设直线AB为，由，得到，联立方程组，得出，进而求得的值，结合面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点坐标为，
设直线AB为，，，
因为，可得，
由，整理得，所以，
又由，可得，解得或，
当时，，可得；
当时，，可得.
故选：D.

练习四 抛物线焦点线的其他几何性质
13．设过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上答案均有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
先找到的中点，然后设其到准线的距离是，再得到，到准线的距离，最后根据梯形中位线的关系可得到答案．
【详解】
设的中点是，到准线的距离是．
而到准线的距离，到准线的距离．
又到准线的距离是梯形的中位线，故有．
即圆心到准线的距离等于半径，所以，圆与准线是相切．
故选：B.
14（多选）．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于，两点，点T（-1，0），则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．若三角形TAB的面积为S，则S的最小值为
D．若线段AT中点为Q，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A选项，设出直线AB：，与联立后得到两根之积；B选项，利用抛物线的定义得到，，转化为两根之和与两根之积的关系式，代入求解；C选项，表达出，求出最小面积；D选项，根据得到，，得到，进而计算出，求出.
【详解】
将直线AB：与联立得：
设，则，故A正确；
由抛物线的定义可知：，，
则
，B正确；
，当且仅当时等号成立，故S的最小值为4，C错误；
由可得：，即，
所以，
解得：或（舍去），
又因为，所以，
因此，D正确.
故选：ABD
【点睛】
抛物线的焦点弦的性质是比较多的，要重点记忆一些，比如，，等.
15（多选）．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设过焦点的直线方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可知根与系数的关系，进而可判断A,B选项是对的.对于C,D选项，根据焦半径公式以及根与系数的关系，代入化简即可知C对D错.
【详解】
由题意知，
直线的斜率不可能为0，故可设其方程为，
联立，消去，得,
,故B对
故，故A对
由抛物线的定义知，,
又
∴＝
＝＝，即选项C对，D错.
故选:ABC
16（多选）．弦经过抛物线：的焦点，设，，下列说法正确的是（       ）
A． B．的最小值为
C． D．以弦为直径的圆与准线相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】
首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A，设弦所在的直线方程为，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可判断BCD.
【详解】
焦点为，准线为，，故A错误，
设弦所在的直线方程为，由可得，
所以，，故C正确，
所以，所以当时最小，最小值为，故B正确，
的中点的横坐标为，
所以以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为，
所以以弦为直径的圆与准线相切，故D正确，
故选：BCD