双曲线的标准方程PPT课件免费下载

人教B版 (2019)高中数学选择性必修 第一册课文《双曲线的标准方程》,完整版PPT课件免费下载，优秀PPT背景图搭配，精美的免费ppt模板。轻松备课，欢迎免费下载使用。

一、【课程的主要内容】

如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?
名师点析若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.(1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.
微思考在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?提示 ①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
微判断(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )答案 (1)× (2)× (3)×
2.双曲线的标准方程
名师点析双曲线与椭圆的比较
微思考在双曲线的标准方程中,怎样判断焦点在哪条坐标轴上?提示 如果含x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果含y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(2)可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.
反思感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.
变式训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.因为点P,Q在双曲线上,
例2已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为 . 
分析由双曲线方程求出a及c的值,利用双曲线定义把|PQ|+|PF1|转化为|PQ|+|PF2|+2a,连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|,由两点间的距离公式求出|QF2|,则|PQ|+|PF1|的最小值可求.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得

二、【拓展学习】

反思感悟1.求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略(1)数形结合利用双曲线的定义,弄清|PF1|,|PF2|,|F1F2|三者之间满足的关系式,一般常用到三角变换和解三角形的知识,如例3(2)中进行面积的讨论中,就用到了余弦定理、面积公式等知识.(2)化归思想将原问题等价转化为易解决的问题,在双曲线中,尤其要注意特殊图形的性质和双曲线的定义,如例2中将|PQ|+|PF1|进行等价转化是问题的核心.
2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
延伸探究将例3(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,
变式训练2(1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
(2)已知双曲线x2-y2=1,F1,F2分别为其左、右两个焦点,P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 . 
解析 动圆圆心为P,半径为r,已知圆圆心为N,半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,
解析 不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(2 )2,又|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,
例4某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.
解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
kPA=tan∠PAx= ,所以∠PAx=60°,所以P点在A点的北偏东30°方向.
反思感悟1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:(1)建立适当的坐标系;(2)求出双曲线的标准方程;(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.2.注意事项:(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
变式训练3一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF= ,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
易错点——因忽略双曲线方程中含有的字母的符号而致错案例已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值.

三、【课堂练习】

1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线答案 D解析 当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.
2.已知双曲线 =1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )A.4a B.4a-mC.4a+2mD.4a-2m
答案 C解析 不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
3.已知方程 =1表示双曲线,则m的取值范围是( )A.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-1,2)
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(3)a=b,经过点(3,-1).
解 (1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,又知焦点在x轴上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,