高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程精品教学设计

这是一份高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程精品教学设计，共18页。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习双曲线的标准方程


学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。


从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。








重点：双曲线的标准方程及其求法.


难点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程





多媒体




















学生已经系统的学习了直线的方程，双曲线的方程以及简单几何性质，会根据题目条件求简单的双曲线的标准方程。但是由于接触学习双曲线的时间还相对较短，对双曲线的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与双曲线等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。











课程目标
学科素养
A.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.


B.掌握双曲线的标准方程及其求法.


C.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.


D.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
1.数学抽象：双曲线的定义


2.逻辑推理：运用定义推导双曲线的标准方程


3.数学运算：双曲线标准方程的求法


4.数学建模：运用双曲线解法实际问题


5.直观想象：双曲线及其标准方程
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
创设问题情境


如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告： A，C两个观测点同时听到一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，假定当时声音传播的速度为340m/s，且A,B,C ,O均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？





PB-PA=4×360=1360





1.双曲线的定义








你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？








如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?


怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？


从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。


以F1,F2所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，


此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2 （c,0）


设Px,y是双曲线上一点，则


PF1-PF2=2a,


因为PF1=(x+c)2+y2, PF2=(x-c)2+y2,


所以(x+c)2+y2-x-c2+y2=±2a ①


由①得(x+c)2+y2-(x-c)2+y2(x+c)2+y2+(x-c)2+y2 =±2a


整理得(x+c)2+y2-x-c2+y2=±2cax. ②


且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得


(x+c)2+y2 =±(a+cax) ③


将③式平方再整理得c2-a2a2x2-y2= c2-a2 ④


因为c>a>0 ，所以c2-a2>0


设c2-a2=b2


且b>0,则④可化为


x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)








尝试与发现


设双曲线的焦点为 F1和F2 ，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P满足PF1-PF2=2a,其中c>a>0 ，以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；


（1）双曲线焦点的坐标分别是什么？


（2）能否通过x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0) ，来得到此双曲线方程形式？








2.双曲线的标准方程





焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上

图形



标准方程



(a>0,b>0)



(a>0,b>0)

焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系
b2=c2-a2




双曲线的标准方程双曲线与椭圆的比较






椭圆
双曲线

定义
|MF1|+|MF2|=2a


(2a>|F1F2|)
||MF1|-|MF2||=2a


(0<2a<|F1F2|)

a,b,c的关系
b2=a2-c2
b2=c2-a2


焦点在


x轴上




焦点在


y轴上






1.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?


提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).


②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.


③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.


2.判断


(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )


(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )


(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )


答案:(1)× (2)× (3)×


3.过点(1,1),且ba=2的双曲线的标准方程是( )


A.x212-y2=1B.y212-x2=1


C.x2-y212=1 D.x212-y2=1或y212-x2=1


解析:∵ba=2,∴b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y22a2=1,将点(1,1)代入方程中,得a2=12.此时双曲线的标准方程为x212-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为y212-x2=1.


答案:D


二、典例解析


例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.


(1)焦点在x轴上,a=25,经过点A(-5,2);


(2)经过两点A(-7,-62),B(27,3).


分析(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到.(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.


解:(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


则a=25,25a2-4b2=1,解得b2=16,


则双曲线的标准方程为x220-y216=1.


(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,


则有49m-72n=1,28m-9n=1,解得m=125,n=175,


则双曲线的标准方程为x225-y275=1.


求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.


跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.


(1)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(26,22);


(2)过点P3,154,Q-163,5且焦点在坐标轴上.


解:(1)因为焦点在x轴上,


可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


将点(4,-2)和(26,22)代入方程得16a2-4b2=1,24a2-8b2=1,


解得a2=8,b2=4,


所以双曲线的标准方程为x28-y24=1.


(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.


因为点P,Q在双曲线上,


则9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.


故双曲线的标准方程为y29-x216=1.


例2 .已知F1-2,0，F2 2,0，动点P满足PF1-PF2=2，求动点P的轨迹方程。


解：因为22=1>2,所以根据双曲线的定义可知，P一定在a=1,c=2且焦点在x轴上的双曲线上，这就是说，点P的坐标x,y一定满足，


x2-y23=1


另一方面，由PF1-PF2=2>0可知PF1>PF2，因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为


x2-y23=1 x>0


例3 “神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.





典例解析


解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.


又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,


所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.


以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).所以双曲线方程为x24-y25=1(x>2),


BC的垂直平分线方程为x-3y+7=0.


联立两方程解得x=8(舍负),y=53,


所以P(8,53),


kPA=tan∠PAx=3,所以∠PAx=60°,


所以P点在A点的北偏东30°方向.





1.利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:


(1)建立适当的坐标系;


(2)求出双曲线的标准方程;


(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.


2.注意事项:


(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.


(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.


跟踪训练2 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=12


,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.








解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.


设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为x2a2-y2b2=1,


焦点为E(-c,0),F(c,0).


由tan∠PEF=12,tan∠EFP=-2,


设∠PFx=α,则tan α=tan(π-∠EFP)=2,


得直线PE和直线PF的方程分别为y=12(x+c)和y=2(x-c).


联立两方程,解得x=53c,y=43c,


即P点坐标为53c,43c.








∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,∴S△EFP=43c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).


由两点间的距离公式|PE|=(5+3)2+42=45,|PF|=(5-3)2+42=25,


∴a=5.又b2=c2-a2=4,


故所求双曲线的方程为x25-y24=1.


典例 已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值.


错解:将双曲线方程化为标准方程为x21k-y28k=1.


由题意知焦点在y轴上,所以a2=8k,b2=1k,


所以c=a2-b2=8k-1k=3,即7k=9,所以k=79.


错因分析上述解法有两处错误:一是a2,b2确定错误,应该是a2=-8k,b2=-1k;二是a,b,c的关系式用错了,在双曲线中应为c2=a2+b2.


正解:将双曲线方程化为kx2-k8y2=1,


即x21k-y28k=1.因为一个焦点是(0,3),


所以焦点在y轴上,所以c=3,a2=-8k,b2=-1k,


所以a2+b2=-8k-1k=c2=9,所以k=-1.









通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。













































































类比椭圆的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程。发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养。










































































































































































































































































通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。





















































通过典型例题，进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。



三、达标检测


1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )


A.双曲线和一条直线


B.双曲线和一条射线


C.双曲线的一支和一条直线


D.双曲线的一支和一条射线


解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.


答案:D


2.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )


A.4aB.4a-m


C.4a+2mD.4a-2m


解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.


答案:C


3.已知方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线,则m的取值范围是( )


A.(-1,+∞)B.(2,+∞)


C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-1,2)


解析:∵方程x21+m+y2m-2=1,∴(m-2)(m+1)<0,解得-1

答案:D


4.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 .


解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125,，故双曲线的标准方程为y225-x275=1.


答案:y225-x275=1


5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.


(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;


(2)以椭圆x28+y25=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,10);


(3)a=b,经过点(3,-1).


解:(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,


又知焦点在x轴上,且c=5,


所以b2=c2-a2=25-16=9,


所以双曲线的标准方程为x216-y29=1.


(2)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=22.


设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


则有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1,解得a2=3,b2=5.


故所求双曲线的标准方程为x23-y25=1.


(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,


得32-(-1)2=a2,


所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为x28-y28=1.


当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.


综上,所求双曲线的标准方程为x28-y28=1.






通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。