高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程课后测评，共12页。试卷主要包含了方程2+2=2a2表示的圆，圆心为且过原点的圆的标准方程是等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对圆的标准方程的理解
1.已知一个圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( )
A.(1,0),4B.(-1,0),22
C.(0,1),4D.(0,-1),22
2.(2020安徽滁州高二月考)圆(2x-1)2+(2y+4)2=9的周长等于( )
A.6πB.3πC.3π2D.9π
3.方程y=-12-x2表示的曲线是( )
A.一条射线B.一个圆
C.两条射线D.一个半圆
4.(2020四川成都七中高二期中)若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b等于( )
A.3B.2C.5D.1
5.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称
D.关于直线x+y=0对称
题组二 点与圆的位置关系
6.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外
7.(2020山东省实验中学高二月考)若点A(a+1,3)在圆(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(-∞,5) C.(0,5)D.[0,5]
8.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m= .
题组三 求解圆的标准方程
9.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
10.(2020山西太原高二期中)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于点(-2,3)对称的圆的标准方程为( )
A.(x+5)2+(y-4)2=1B.x-122+y-522=1
C.(x-5)2+(y+4)2=1D.x+122+y+522=1
11.已知A(-1,4),B(5,-4),则以AB为直径的圆的标准方程是 .
12.已知圆P过点A(1,0),B(4,0).
(1)若圆P还过点C(6,-2),求圆P的标准方程;
(2)如果圆心P的纵坐标为2,求圆P的标准方程.
题组四 圆的标准方程的应用
13.圆(x-2)2+(y+3)2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为( )
A.2B.22C.42D.32
14.已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,且点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.
15.已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆,且车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?
能力提升练
题组一 圆的标准方程的求解及简单应用
1.(2019河南郑州高二期末,)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的标准方程为( )

A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1
2.(2020北师大附中高一期末,)方程|x|-1=1-(y-1)2所表示的曲线是( )
A.一个圆B.两个圆
C.一个半圆D.两个半圆
3.(2019福建福州高一期末,)由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为( )
A.π+4B.2π+4
C.4π+4D.4π+8
4.(2020河北唐山高一期末,)若点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则实数a的取值范围是 .
5.(2020广东揭阳三中高一期末,)已知圆M经过点A(-1,1)和B(1,3),且圆心在x轴上,则圆M的标准方程为 .
6.(2020广东东莞高级中学高一期末,)在△ABC中,已知A(-1,0),B(2,1),AC边上的中线所在直线的方程为y=1,BC边上的高所在直线的斜率为12.
(1)求直线BC的方程;
(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.
题组二 圆的标准方程的综合应用
7.(2020河北沧州高二月考,)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则△PAB的面积的最大值与最小值分别是( )
A.2,12(4-5)B.12(4+5),12(4-5)
C.5,4-5D.12(5+2),12(5-2)
8.(2020安徽马鞍山二中高二期末,)圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是 .
9.(2019天津耀华中学高二月考,)已知实数x0,y0满足(x0-1)2+(y0+2)2=5,求(x0-5)2+(y0+4)2的最小值.
10.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)已知实数x,y满足y=9-x2,求t=y+3x+1的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(0,-1),半径为22.故选D.
2.B 圆的方程可化为x-122+(y+2)2=94,所以圆的半径为32,因此圆的周长为2π×32=3π.
3.D 由方程可得y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆.
4.A 由题可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,所以a+b-3=0,即a+b=3.
5.D 易得圆心C(-a,a),圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称.
6.C 因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P(3,2)在圆内.
7.C 由题意,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,即m<5,又易知m>0,所以08.答案 ±2
解析 因为点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,所以1+3=m2,故m=±2.
9.D 由题意知,圆的半径r=2,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
10.A 圆(x-1)2+(y-2)2=1的圆心为(1,2),因为点(1,2)关于点(-2,3)对称的点为(-5,4),所以对称圆的圆心为(-5,4),又半径不变,所以所求圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=1.
11.答案 (x-2)2+y2=25
解析 由题意知圆心坐标为-1+52,4-42,即(2,0),半径为12×(-1-5)2+(4+4)2=5,故所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=25.
12.解析 (1)设圆P的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
则(1-a)2+b2=r2,(4-a)2+b2=r2,(6-a)2+(-2-b)2=r2,解得a=52,b=-72,r=582,
所以圆P的标准方程为x-522+y+722=292.
(2)由题易知圆心P的横坐标为1+42=52,所以圆心为P52,2,
因此圆P的半径r=1-522+(0-2)2=52,
所以圆P的标准方程为x-522+(y-2)2=254.
13.D 圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心为(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为(2-0)2+(-3+5)2=22,又圆的半径为2,故所求的最大距离为22+2=32.
14.解析 由题意知圆C的圆心C的坐标为(3,4),半径r=1.
设P(x,y),坐标原点为O,则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2
=2x2+2y2+2=2(x2+y2)2+2
=2[(x-0)2+(y-0)2]2+2
=2|OP|2+2,
|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,
所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.
15.解析 以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0).
将x=2.7代入,得y=16-2.72=8.71<3,
即在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度,所以货车不能驶入这个隧道.
能力提升练
1.B 设圆C2的圆心为(a,b),则依题意有a-12-b+12-1=0,b-1a+1=-1,解得a=2,b=-2,
因为对称圆的半径不变,所以圆C2的半径为1,
所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
2.D 由题意,得(|x|-1)2+(y-1)2=1,|x|-1≥0,即(x-1)2+(y-1)2=1,x≥1或
(x+1)2+(y-1)2=1,x≤-1,故原方程表示的曲线是两个半圆.
3.D 曲线x2+y2=2|x|+2|y|可化为(|x|-1)2+(|y|-1)2=2,当x≥0,y≥0时,解析式为(x-1)2+(y-1)2=2,
易知曲线关于x轴,y轴,原点均对称,
由题意,作出图形如图中实线所示,
则此曲线所围成的图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成,
故所围成图形的面积是22×22+4×12×π×(2)2=8+4π.故选D.
4.答案 [0,1)
解析 (5a+1-1)2+(a)2=26a,因为点M在圆的内部,所以26a<26,又a≥0,
所以0≤a<1.故实数a的取值范围是[0,1).
5.答案 (x-2)2+y2=10
解析 设圆心为M(a,0),因为圆过点A(-1,1)和B(1,3),所以|MA|=|MB|,所以|MA|2=|MB|2,即(a+1)2+1=(a-1)2+9,解得a=2,所以圆心M的坐标为(2,0),半径|MA|=10.故圆M的标准方程为(x-2)2+y2=10.
6.解析 (1)因为BC边上的高所在直线的斜率为12,所以直线BC的斜率为-2,因为B(2,1),所以直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
(2)设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,
所以y0+02=1,解得y0=2.
因为直线BC的方程为2x+y-5=0,
所以2x0+y0-5=0,解得x0=32,
所以C32,2,
所以所求圆的圆心为线段AC的中点14,1,
半径r=14+12+12=414,
所以所求圆的方程为x-142+(y-1)2=4116.
7.B 点A(-1,0),B(0,2)所在直线的方程为2x-y+2=0,圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线的距离为|2-0+2|22+(-1)2=455,又|AB|=5,所以△PAB的面积的最大值为12×5×455+1=12(4+5),最小值为12×5×455-1=12(4-5).
8.答案 1+2
解析 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),圆心到直线x-y=2的距离为|1-1-2|1+1=2,圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离,即最大距离为1+2.
9.解析 (x0-5)2+(y0+4)2表示点A(5,-4)与圆(x-1)2+(y+2)2=5上动点M(x0,y0)之间的距离的平方,
若|AM|最小,则|AM|2也最小,而|AM|的最小值为(5-1)2+(-4+2)2-5=5,故(x0-5)2+(y0+4)2的最小值为5.
10.解析 方程y=9-x2表示的曲线为圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,t可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜率.
如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),则AB所在直线的斜率kAB=34,AC所在直线的斜率kAC=-32,
所以t≤-32或t≥34,
故t=y+3x+1的取值范围是-∞,-32∪34,+∞.