高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程巩固练习

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第二章 平面解析几何
2.7抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
知识梳理
1.抛物线的定义：
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程：

焦点在x轴上
焦点在y轴上


图形与方程


标准方程


焦点


准线



常见考点
考点一 抛物线定义及辨析
典例1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义判断即可
【详解】
动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：C．
变式1-1．若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．
考点：1．抛物线的定义；2．轨迹方程．
变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（       ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【解析】
题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义.
【详解】
因为点到直线的距离比它到点的距离小,
所以点到直线的距离等于它到点的距离,
∴点的轨迹为抛物线,
故选:C.
【点睛】
本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.
变式1-3．若点满足，则动点M的轨迹是（       ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可得出选项.
【详解】
依题意，动点M到点的距离等于其到定直线的距离，
且点不在直线上，因此动点M的轨迹是抛物线.
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，理解定义是关键，属于基础题.

考点二 求抛物线的焦点与准线方程
典例2．抛物线的焦点坐标是（       ）
A．（0，－1） B．（－1，0） C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线标准方程，可得p的值，进而求出焦点坐标.
【详解】
由抛物线可知其开口向下，，所以焦点坐标为，
故选：C.
变式2-1．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（       ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦点坐标求得的值.
【详解】
由于抛物线的焦点为，
所以.
故选：A
变式2-2．抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点求得，由此求得抛物线的准线.
【详解】
由于抛物线：过点，
所以，
所以抛物线方程为，
所以抛物线的直线方程为.
故选：A
变式2-3．抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ）
A． B． C．8 D．-8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据准线方程列出方程，求出实数a的值.
【详解】
由题意得：，解得：.
故选：A

考点三 抛物线上点到焦点的距离及最值
典例3．抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程可得准线方程，利用抛物线的定义计算即可.
【详解】
由题意知，
抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义，得．
故选：B
变式3-1．设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由，可得，结合题意可求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】
由，可得，据已知抛物线方程可得其准线方程为，
又由点到轴的距离为，可得点的横坐标.
由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即.
故选：C.
变式3-2．若抛物线上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义结合题意可得，即可的解.
【详解】
解：有抛物线的定义可知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
则最短距离为，所以.
故选：C.
变式3-3．若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小即可解出．
【详解】
由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.
故选：D．

考点四 抛物线上点到焦点和定点距离的和差最值
典例4．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案
【详解】
连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，
所以，
故选A.

变式4-1．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则取得最小值的的坐标为：（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据抛物线的定义进行求解即可.
【详解】
设抛物线的准线方程为：，，过作，垂足为，
所以，要想取得最小值，只需在一条直线上即可，此时，的坐标为，
故选：B

变式4-2．已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：依题意可知其焦点，准线方程为，延长交准线于点，则，
，所以，所以要求的最小值，只需求的最小值即可．而由三角形的两边之和大于第三边可知，，设直线与抛物线交于，另一交点（舍）．当重合于时，可取得最小值且，所以所求的最小值为，故应选．
考点：1、抛物线的简单几何性质．
【思路点睛】
本题主要考查了抛物线的简单几何性质，考查了学生分析问题的能力和数学结合的思想在实际问题中的运用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据抛物线的方程求得其焦点坐标和准线方程，然后延长交准线于点，则，进而表示出，于是问题转化为求的最小值，再由三角形的两边之和大于第三边可得，最后分析可得当直线与抛物线交于与重合时，其取得最小值，进而得出所求的结果．
变式4-3．已知为抛物线上一个动点，点坐标（0，4），那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（       ）
A． B． C．5 D．9
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件以及三角不等式，转化求解即可．
详解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设点P到抛物线的准线的距离为d，
根据抛物线的定义有d=|PF|，∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|QF|＝，故选A.

点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的定义的理解为解题关键，考查计算能力．属于中档题.

考点五 求抛物线的标准方程
典例5．准线方程为的抛物线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
的准线方程为.
【详解】
的准线方程为.
故选：D.
变式5-1．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.
【详解】
由题意，设抛物线标准方程为，
所以，解得，
所以抛物线标准方程为.
故选：D
变式5-2．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】
解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
变式5-3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.
【详解】
由题意知，则准线为，
点到焦点的距离等于其到准线的距离，
即，∴，则
故选：B.

考点六 定义法求抛物线的轨迹方程
典例6．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】
由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，
故选：B .
变式6-1．到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程.
【详解】
由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，
故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.
故选：C.
变式6-2．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.
【详解】
定圆的圆心，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，
所以，
化简得：．
∴动圆圆心轨迹方程为．
故选：D．
变式6-3．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线定义得动点轨迹是抛物线，由此易得方程．
【详解】
由题意，，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
由得，所以抛物线方程为．
故选：A．

巩固练习
练习一 抛物线定义及辨析
1．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（        ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的定义求解即可.
【详解】
由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
2．过点且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（       ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
【答案】D
【解析】
设圆心坐标为，根据题意，由求解.
【详解】
设圆心坐标为，
因为圆过点且与y轴相切的圆，
所以，
化简得，
所以圆心的轨迹为抛物线，
故选：D
3．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（       ）.
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】D
【解析】
根据抛物线的定义即可判断.
【详解】
解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.
故选：D.
4．若动点满足，则点M的轨迹是（       ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.

练习二 求抛物线的焦点与准线方程
5．抛物线的焦点坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.
【详解】
抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C
6．若直线经过抛物线的焦点，则（       ）
A．6 B．12 C．-6 D．-12
【答案】D
【解析】
直线与轴交点即为抛物线的焦点.
【详解】
因为直线与轴的交点为，
所以，即.
故选: D
【点睛】
此题考查抛物线的标准方程，属于基础题.
7．抛物线：的准线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程直接求解出准线方程.
【详解】
的准线方程为：.
故选：A
8．已知与抛物线的准线相切，则（       ）
A． B．16 C． D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可．
【详解】
抛物线的准线方程为，圆的方程，圆心，半径，
由已知得，解得，
故选：A

练习三 抛物线上点到焦点的距离及最值
9．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程和定义可得，由此解得和，从而可得.
【详解】
由可知，抛物线的准线方程为，则，解得，
代入可得，，则点M到坐标原点的距离为.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线的方程和定义，要求学生熟练掌握抛物线的定义的运用，属基础题.
10．若抛物线上一点到焦点的距离是，则点到原点的距离是（          ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，由抛物线定义知，进而可求参数x、y，即可求到原点的距离.
【详解】
若，由抛物线定义知：，故，
∴，故到原点的距离.
故选：B.
11．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.
【详解】
设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，
所以点P到圆心的距离，
令，则，
令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以的最小值为，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
12．动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
设出点坐标，用两点间距离公式表达出点到点的距离，配方后求出最小值.
【详解】
设，则，当时，取得最小值，最小值为
故选：B

练习四 抛物线上点到焦点和定点距离的和差最值
13．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.
【详解】
因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．

故选：A.
14．已知点是抛物线的焦点，点M为抛物线上的任意一点，为平面上定点，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
求出焦点坐标和准线方程，设点在准线上的射影为，由抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，由此即可求出结果.
【详解】
由题意得 ，准线方程为，设点在准线上的射影为，

根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小，
当三点共线时最小，即为.

所以的最小值为.
故选：B.
15．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|＝|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求|PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF|+|PA|的最小值，则|PA|+|PM|的最小值可得．
【详解】
依题意可知焦点，准线 x，延长PM交准线于H点．
则|PF|＝|PH|，∴|PM|＝|PH||PF|
∴|PM|+|PA|＝|PF|+|PA|，∴要使|PM|+|PA|当且仅当|PF|+|PA|最小．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①
当与线段与抛物线的交点重合时取到最小值，．
由,可得．
则所求为．
故选：B．

16．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．
【详解】
如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，
，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．
故选：B．


练习五 求抛物线的标准方程
17．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（       ）．
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.
【详解】
因为椭圆的对称中心为原点，焦点为
所以抛物线的方程为或
故选：D
18．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程
【详解】
因为抛物线的准线方程为，
所以设抛物线方程为，
则，得，
所以抛物线方程为，
故选：D，
19．顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】
依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故选：B
20．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（       ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可解答.
【详解】
抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.
故选：D.

练习六 定义法求抛物线的轨迹方程
21．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知，点的轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点与准线，由此可得出点的轨迹方程.
【详解】
因为动点到点的距离比到直线的距离小，
所以，点到点的距离和到直线的距离相等，
点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．
所以，，则，故点的轨迹方程为．
故选：D.
22．设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据抛物线的定义求曲线的轨迹，再由定义可求解.
【详解】
由题意，设，因为，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹为，
再根据直线与轴垂直且直线与曲线交于，两点，
从而可知.
故选：D
23．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．
【答案】y2＝﹣8x
【解析】
【分析】
设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得．
【详解】
设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x.
故答案为：y2＝﹣8x．
24．已知圆的方程，求与轴相切且与圆外切的动圆圆心的轨迹方程______.
【答案】或
【解析】
【分析】
可得当动圆在轴右侧，轨迹为抛物线，当动圆在轴左侧，轨迹是负半轴，即可得出轨迹方程.
【详解】
方程化为，
若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线，方程为，
若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是负半轴，方程为，
综上，动圆圆心轨迹方程是或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查抛物线的轨迹方程，解题的关键是通过已知结合抛物线的定义得出轨迹为抛物线.