人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式当堂检测题

2.2 基本不等式

一、基本不等式的概念

1、两个不等式

重要不等式：,（当且仅当时取号）.

常见变形公式：、

基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.

常见变形公式： ；

【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、由公式和引申出的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

二、基本不等式的证明

1、法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，

这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

2、法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

三、基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，

过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，

其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.

2、积定和最小，和定积最大

（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.

（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.

题型一 对基本不等式的理解

【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】取满足，且，此时，A错误；

取满足，且，此时，B错误；

可得，C正确；

取满足，且，此时，D错误.故选：C.

【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】对于A，，，由均值不等式，，

当且仅当，即时取“”，A错误；

对于B，，所以，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，由，，，得，

当且仅当时，取“”，D正确.故选：D

【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（    ）

A．0        B．1        C．2        D．3

【答案】C

【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；

因为，所以（3）正确；

都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C

【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为，所以，，

所以，，

由均值不等式可知，所以，

由上可知：，

所以四个式子中最大，故选：D.

【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】ACD

【解析】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；

B. 因为，正负不定，故错误；

C. ，

当且仅当，时，等号成立，故正确；

D. ，故正确；

故选：ACD

题型二 利用基本不等式证明不等式

【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.

【答案】证明见解析

【解析】由于为互不相等的正实数，且，

所以，

所以.

【变式2-1】设，为正实数，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】因为，为正实数，所以，，，

当且仅当时取等号，

所以，

即，当且仅当时取等号；

【变式2-2】设a，b为正数，且．证明：

（1）：

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1），

，当且仅当“”时取“＝”，

，当且仅当“”时取“=”，

所以，

所以．

（2）因为，所以

所以，

因为a，b为正数，且，所以，

所以，

所以．

【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

所以，

即，

即，当且仅当时，等号成立.

（2）因为,

所以，当且仅当时，等号成立，

即，即，

所以，当且仅当时，等号成立.

题型三 利用基本不等式求最值

【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．

【答案】

【解析】，当且仅当时取等号．

【变式3-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________．

（2）已知，则的最大值为________．

【答案】（1）；（2）1

【解析】（1），

当且仅当，即时，取等号．

（2）因为，所以，

则,

当且仅当，即时，取等号．

故的最大值为1.

【变式3-2】已知，，，求的最小值；

【答案】2

【解析】，，

当且仅当时，等号成立

当时，的最小值为

【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值．

【答案】

【解析】因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，的最小值.

【变式3-4】设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．

【答案】

【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，

因为

所以。

题型四 基本不等式的恒成立问题

【例4】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】∵当时，不等式恒成立，

∴对均成立．

由于，

当且仅当时取等号，

故的最小值等于3，，

则实数a的取值范围是．故选：D．

【变式4-1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】，，若不等式恒成立，

恒成立

，

当且仅当时取等号．

，即的最大值为．故选：B．

【变式4-2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由不等式对任意恒成立转化为

，其中,即可.

，

当且仅当，即时，等号成立，即，

所以实数的取值范围是.

【变式4-3】（多选）若，恒成立，则的取值可以是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】BCD

【解析】由，可知，，则，，则，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，所以，

因为，则.故选：BCD.

【变式4-4】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，

则只需求的最大值即可，，

设，则，

再设，则

，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.故选：D.

题型五 利用基本不等式解应用题

【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.

【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m

【解析】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，

则彩带总长==，

当且仅当，即且等号成立，

所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.

【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【答案】（1）；（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

【解析】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

【变式5-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.

（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1）；（2）3万元

【解析】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−

则2022年的利润．

（2）∵当时，，

∴，（当且仅当时等号成立）

∴，当且仅当万元时，（万元）．

故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．

（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？

（注：利润＝销售额－成本）

【答案】（1）

（2）当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元

【解析】（1）由题意知，当x＝10时，所以a＝300

当时，

当时，

所以

（2）当0＜x＜40时，，

所以，当x＝30时，W有最大值，最大值为8740

当时，．

当且仅当即x＝100时，W有最大值，最大值为8990

因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，

企业的利润最大，最大利润为8990万元.