1.2 集合间的基本关系-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合间的基本关系

子集

① 概念

对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集(). 

记作：(或)，读作：包含于，或包含. 

当集合不包含于集合时，记作(或).

② 图 

【例】已知集合，，判断集合的关系．

解析 ，且，的可能取值为．

．

又，分别是．

．．

【练】若集合，且，则集合可能是       (　　)

A．          B．       C．            D．

解析 因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，

当集合时，满足题意，

当集合时，，不满足题意，

当集合时，，不满足题意，

当集合时，，不满足题意，

故选．

真子集

概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集.

记作：(或)   (有些地方用或表示)

读作：真包含于(或真包含) 

类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等；

Eg：是对的，而是错的，若，则也成立；

对比下，是对的，但是错的，若，则也成立.

【例】若，则满足条件的集合的个数是(　　)

A．           B．                C．                 D．

解析 ，

集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，

因此满足条件的集合为，，，，，，共个．故选：．

【练】已知集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有      个.

解析 集合，，，，，，，．

中至少含有一个奇数，，，．

这样的集合有个．故选．

集合相等

如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等．

即 且.

【例】如果，，那么(　　)

A．真包含于   B．真包含于    C．     D．与没有交集

解析 当为偶数，设，，则，

当为奇数，设，，则，

集合和的元素相同，．故选：

【练】集合，，，则的关系(　　)

A．   B．   C．   D．

解析 ，

，

，

故，故选.

几个结论

① 空集是任何集合的子集：； 

② 空集是任何非空集合的真子集； 

③ 任何一个集合是它本身的子集； 

④ 对于集合，如果且，那么；

⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.

【例】求集合的子集和真子集.

解析 集合的子集是，共个；

集合的子集是，共个；

【练】求集合的子集和真子集.

解析 集合，

集合的子集是，共个；

集合的子集是，共个；

【题型1】判断集合间的关系

【典题1】 指出下列各对集合之间的关系：

，；

是菱形，是平行四边形；

，；

，．

解析 集合的代表元素是数，集合的代表元素是抛物线上的点，

故与之间无包含关系．

菱形是特殊的平行四边形，故．

集合，，

用数轴表示集合如图所示，由图可知．

由列举法知，，故．

 点拨  先分析集合元素的特征，若元素不同类肯定无包含关系，若元素同类则化简集合后再由判断.

【典题2】 集合，，，则的关系(　　)

A．  B．  C．  D．

解析 方法1 把每个集合用列举法表示， ，

，，

故，故选.

方法2 设，，，其中；

，则；

，则，故.

，则，

不一定属于；

故，故选.

方法3 集合与的元素均是被除余，则；集合的元素是偶数，而集合元素是.

点拨  方法1利用列举法通过观察确定集合关系，不够严谨；方法2利用严谨的推理得到关系，略显抽象；方法3从“余数”的角度处理较为简洁.

【巩固练习】

1.以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有(　　)

A．个        B．个     C．个     D．个

答案

解析 对于①：是集合与集合的关系，应该是；①不对．

对于②：空集是任何集合的子集，应该是；②对．

对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，；③不对．

对于④：根据集合的无序性可知；④对．

对于⑤：是一个空集合，表示没有任何元素，应该是；⑤不对．

正确的是：②④．

故选：．

2.指出下列各对集合之间的关系：

(1)，；

(2)是等边三角形，是等腰三角形；

(3)，；

(4)，．

答案 (1) 无包含关系 (2)   (3)   (4)

解析 (1)集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，

故与之间无包含关系．

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故．

(3)集合，用数轴表示集合如图所示，由图可知．

(4)由列举法知，，故．

3.已知集合若则与的关系是(　　)

        不能确定

答案 

解析 ，显然的分子为奇数，

，显然的分子为整数，

集合的关系为，

故选：．

【题型2】求已知集合的子集或真子集

【典题1】 集合，则的非空真子集的个数是(　　)

A．个 B．个 C．个 D．个

解析 由题意集合且 ，

由对于含有个元素的集合，利用公式计算出的非空真子集个数，

的非空真子集的个数是，故选：．

点拨  先化简集合，确定集合的元素个数，利用公式求解.

【巩固练习】

1.集合的非空真子集的个数(　　)

A．16个       B．15个      C．14个      D．13个

答案 

解析 集合有个元素，则集合有个子集，

故集合的非空真子集的个数为；故选．

2.定义集合且，若，，则的子集个数

为         .

答案 

解析 由题意：，故其子集为，，，，个数为.

3.已知集合，则的子集个数为        

答案 

解析 集合，

，

中含有个元素，集合的子集个数有．

【题型3】综合应用

【典题1】 已知集合，，且，则实数      

解析 解方程：，得：或，即集合，

又，

①当，即时，满足题意，

②当，即，即时，满足，

③当，即，即时，满足，

综合①②③得：或或，

故选：．  

点拨  注意不用漏了的情况；求解方程，注意的情况.

【典题2】已知集合．

若，求实数的取值范围；

若求实数的取值范围．

解析 集合，

，解得：，

实数的取值范围为；

，

①当时，，即，

②当时解得：，

综上所述，实数的取值范围为：．

点拨 若集合，即；对于涉及不等式的集合关系，可画数轴了解其关系.

【巩固练习】

1. 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

答案 

解析 ，，，故选．

2.若集合，且，则      ．

答案 

解析 ．

因为，所以方程的解可以是或或无解．

当的解为时，由得；

当的解为时，由得；

当无解时，．

综上可知，的值为或或．

3.已知集合，集合．若，则实数的取值范围是________．

答案 

解析 集合，集合，

，

当时，，．

当时，有且且，解得．

综上，的范围为．