高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质课时练习

3.2.2奇偶性（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性

重点题型二：分段函数奇偶性的判断

重点题型三：抽象函数的奇偶性

重点题型四：函数奇偶性的应用

角度1：求函数值

角度2：求函数解析式

角度3：求参数的值或取值范围

角度4：求函数的值域或最值

角度5：解不等式

重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用

重点题型六：函数性质的综合应用

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：函数的奇偶性

1、定义：

1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.

1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.

2、函数奇偶性的判断

2.1定义法：

（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.

（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：

①若是奇函数

②若是偶函数

③若既是奇函数又是偶函数

④若既不是奇函数也不是偶函数

2.2图象法：

（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.

（2）若的图象关于轴对称是偶函数

（3）若的图象关于原点对称是奇函数

2.3性质法：

，在它们的公共定义域上有下面的结论：

知识点二：奇函数，偶函数的性质

1、奇函数，偶函数的图象特征

设函数的定义域为

（1）是偶函数的图象关于轴对称；

（2）是奇函数的图象关于原点对称；

（3）若是奇函数且，则

2、函数的奇偶性与单调性的关系

（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；

（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；

3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系

设函数的定义域为（其中）

（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；

（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；

知识点三：对称性

1、轴对称：

设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：

①；

②

③

2、点对称

设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：

①；

②

③

3、拓展：

①若，则关于对称；

②若，则关于对称；

1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）是定义在R上的函数，若，则一定是偶函数．(      )

（2）对于函数，若存在x，使，则函数一定是奇函数．(      )

（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(      )

（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(      )

2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是偶函数的是(      )

A．       B．

C．       D．

3．（2022·全国·高一课时练习）若为R上的偶函数，且，则___________．

4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（       ）

A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数

B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称

C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数

D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数

5．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（       ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性

典型例题

例题1．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：

(1)；    (2)；

(3)；      (4)．

例题．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数为偶函数，求的值．

同类题型演练

1．（2022·湖南·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的有哪些？

①；②；③；④．

2．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性

(1)；           (2)；

(3)；             (4)．

重点题型二：分段函数奇偶性的判断

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝是奇函数.

求实数m的值；

2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数

(1)求，的值；

(2)作出函数的简图；

(3)由简图指出函数的值域；

(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.

重点题型三：抽象函数的奇偶性

典型例题

例题1．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（文））已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．

(1)求．

(2)证明：．

同类题型演练

1．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数满足．

(1)求的值；

(2)求证：；

2．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对任意的，都有，且当时，.

（1）若，证明：是奇函数.

重点题型四：函数奇偶性的应用

角度1：求函数值

典型例题

例题1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

例题2．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.

例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，则（    ）

A． B． C．1 D．3

同类题型演练

1．（2022·云南普洱·高三期末（理））已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（       ）

A．8 B． C．16 D．

2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，当时，，则

A． B．

C． D．

3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.

角度2：求函数解析式

典型例题

例题1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（文））已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

例题2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数是上的偶函数，当时，

(1)当时，求解析式；

(2)画出函数的图象，并写出的值域.

同类题型演练

1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．

2．（2022·山西太原·高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．

3．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．

4．（2022·云南昆明·高一期中）定义在R上的函数满足.当时，，则______.

5．（2022·全国·高一专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．

6．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，

(1)试求在R上的解析式；

角度3：求参数的值或取值范围

典型例题

例题1．（2022·河南新乡·高一期中）若函数在上为奇函数，则___________.

例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，则_____．

同类题型演练

1．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（       ）

A．-8 B．8 C．-24 D．24

3．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）若函数是偶函数，定义域为，则等于（       ）

A． B． C．2 D．

4．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.

角度4：求函数的值域或最值

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（   ）

A． B． C．或 D．不存在

例题2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）已知是定义在上的偶函数，当时，．

(1)求的解析式；

(2)求在区间上的值域．

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.

2．（2022·安徽·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且

(1)求的值

(2)用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．

角度5：解不等式

典型例题

例题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））定义在R上的偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·北京市第五中学高一期末）已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．

同类题型演练

1．（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（       ）

A． B． 

C． D．

4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·河南平顶山·高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（       ）

A． B． 

C． D．

6．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________.

重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用

典型例题

例题1．（2021·北京市第四十三中学高一阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·河南商丘·三模（理））已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（  ）

A． B．

C． D．

同类题型演练

1．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国·高一专题练习）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

重点题型六：函数性质的综合应用

典型例题

例题1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.

(1)求实数的值；

(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；

(3)当时，解关于的不等式：.

例题4．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．

(1)求，并证明函数的奇偶性；

(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．

同类题型演练

1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（文））函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式

(2)证明在上的单调性；

(3)解关于的不等式．

2．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求，的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

3．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数是增函数，对于任意都有．

(1)写一个满足条件的；

(2)证明是奇函数；

(3)解不等式．

1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·上海·模拟预测）若函数为奇函数，求参数a的值为___________；

5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数的定义域为R，为奇函数，则___________.