数学必修 第二册6.4 平面向量的应用练习

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知识点1：平面的概念与画法
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度.
（2）平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).
（3）平面的表示
平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等.
知识点2：点、直线、平面之间的位置关系（是点，、是直线，、是平面）
知识点3：平面的基本性质
（1）基本事实1
①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；
②图形语言：
③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面.
④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
（2）基本事实2
①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
②符号语言和图形语言
符号语言：，，且，
③应用：判断直线或点是否在平面内的依据.
④说明： 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的
“无限延展”. 如图,由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点,它们可以确定一个平面;连
接,,,由基本事实2.这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
（3）基本事实3
①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
②符号语言和图形语言
，且
③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线.
④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
知识点4：基本事实1和基本事实2的三个推论
（1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
（2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面
（3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面
二、重点题型分类研究
题型1: 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化
1．（2022·全国·高一课时练习）画出满足下列条件的图形（其中，，表示点，，，，表示直线，，表示平面）：
（1），，，；
（2），，，，；
（3），，，．
2．（2022·全国·高一课时练习）将下列符号语言转化为图形语言：
（1）， .
（2）， 且.
（3），
（4），，， .
3．（2022·全国·高一课时练习）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.，，，.
4．（2022·全国·高一课时练习）根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.
5．（2022·海南·三亚华侨学校高一期中）用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）点在平面内但在平面外
（2）直线经过平面内一点，外一点
（3）直线在平面内，也在平面内
题型2：平面性质基本事实及推论的应用
1．（2020·全国·高一课时练习）已知平面与平面相交于直线，直线与直线分别在这两个平面内且相交于点，点是否在直线上？为什么？
2．（2022·全国·高一课时练习）请指出下列说法是否正确，并说明理由：
（1）空间三点确定一个平面；
（2）如果平面与平面有公共点，那么公共点就不止一个；
（3）因为平的斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．
3．（2022·全国·高一课时练习）为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，共点（相交于一点）.
题型3：共面、共线、共点问题
①点、线共面问题
1．（2022·江西·高二期中（理））如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
2．（2022·全国·高一课前预习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
②点共线问题
1．（四川省乐山市2022-2023学年高二上学期期末数学理科试题）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
（1）求证：四点共面；
（2）设与交于点，求证：三点共线.
2．（2022·山东邹城·高一期中）已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知在平面外，其三边所在的直线满足，，，如图所示，求证：，，三点共线.
4．（2020·全国·高三专题练习（文））如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
③线共点问题
1．（2022·全国·高一课时练习）如图，在四面体中，， 分别为， 的中点，点在上，点在上，且有， .求证：，，交于一点．
2．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2）三条直线相交于同一点.
3．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知平面，，且.设在梯形中，，且，.求证：，，共点（相交于一点）.
4．（2022·江苏·高邮市第一中学高一阶段练习）空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
直线在平面内
直线在平面外
平面,相交于