人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系巩固练习

8.5.1 直线与直线平行 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：直线与直线平行

（1）基本事实4（平行线的传递性）

①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行

②图形语言：

③符号语言：直线,,

④作用：证明两条直线平行

⑤说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性

（2）空间四边形

空间顺次连接不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形.如图中的四边形表示空间四边形.

点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的线段,,,连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段,.空间四边形的对角线不共面.

（3）等角定理

①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

②图形语言：

③符号语言：,或

④作用：判断或证明两个角相等或互补

二、重点题型分类研究

题型1: 基本事实4的应用

1．（2022·全国·高一课时练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱平行的条数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】

解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，

故选：D.

2．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习）如图所示，在长方体中，，分别是和的中点，则长方体的各棱中与平行的有（    ）

A．3条 B．4条

C．5条 D．6条

【答案】B

【详解】

由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，

因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.

故选：B.

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意结合三角形中位线的性质可得：，

由平行公理可得：.

本题选择C选项.

题型2：等角定理的应用

1．（2022·全国·高一课时练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（    ）

A．且方向相同 B．，方向可能不同

C．与不平行 D．与不一定平行

【答案】D

【详解】

解：如图，

；

当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，

OB与O1B1是不一定平行．

故选：D．

2．（2022·全国·高一课时练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是(　　)

A．且方向相同

B．，方向可能不同

C．与不平行

D．与不一定平行

【答案】D

【详解】

如图，

；

当时，且，与的方向相同，与是不一定平行，如上图所示，故选D.

3．（2022·全国·高一课时练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.

【答案】45°或135°

【详解】

根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：45°或135°.

4．（2022·全国·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________.

【答案】或

【详解】

因为角与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补，故或.

故答案为：或.

题型3：空间中直线与直线平行的应用

1．（2022·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．

【答案】证明见解析

【详解】

证明：如图所示：

连接AC，

由正方体的性质可知：

AA′=CC′，AA′CC′，

∴四边形AA′C′C为平行四边形，

∴A′C′=AC．A′C′AC，

又∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN∥AC，且MN＝AC，

∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．

∴四边形MNA′C′是梯形．

2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是A1B1C1的中位线，

∴GHB1C1，

又∵B1C1BC，

∴GHBC，

∴B，C，H，G四点共面.

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且.

（1）求证:，，;

（2）求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

(1)∵AA'∩BB'=O且，

∴AB∥A'B'，同理，AC∥A'C'，BC∥B'C'.

(2)∵A'B'∥AB，A'C'∥AC，由图知：AB和A'B'，AC和A'C'方向相反，

∴∠BAC=∠B'A'C'，同理，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'，

∴△ABC∽△A'B'C'，

∴，

∴.

4．（2022·全国·高一课时练习）如图，，，，分别是空间四边形各边上的点，且，.

（1）证明：，，，四点共面.

（2），满足什么条件时，四边形是平行四边形？

【答案】（1）见解析（2）当时，四边形EFGH是平行四边形.

【详解】

（1）证明：连接BD

因为,所以

又,所以

所以

所以E,F,G,H四点共面

（2）当时,四边形EFGH为平行四边形

由（1）可知

因为

所以

同理可得

由

可得

得

故当时,四边形EFGH是平行四边形