高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质同步测试题

2.1等式性质与不等式性质（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；

对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．

故选：D．

2．设，，，则P、Q的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

解：因为，，所以，

所以；

故选：A

3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

A：当时，显然不成立；

B：当时，显然没有意义；

C：当时，显然不成立；

D：根据不等式的性质，由能推出，

故选：D

4．给出下列四个关于实数的不等关系的推理：

①，

②，

③，

④.

其中推理正确的序号为（       ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

【答案】B

根据不等式的可加性，可知正确，故①正确；

若，故②错误；

因为，所以，又，所以，故③正确；

若，则④错误；

故选:B.

5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（       ）

A．且，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】C

对于A，当，不等式不成立，故错误；

对于B，取，，故错误；

对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；

对于D，当，不等式不成立，故错误.

故选：C.

6．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：

方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；

方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.

李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（       ）

A．方案一 B．方案二 C．一样划算 D．不能确定

【答案】A

设第一次油价为，第二次油价为，，，

方案一的平均油价为：；

方案二的平均油价为：.

则，故.

故选：A.

7．若实数，满足不等式组，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．0

【答案】A

，得到，，故.

当，时等号成立.

故选：A.

8．已知，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

令，

∴，即，

∴，故.

故选：D

二、多选题

9．若，，则一定有（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

对A，由，故A正确；

对B，，故B正确；

对D，由，又，故D正确；

故选：ABD

10．已知，，，则下列等式不可能成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

A：由，则，可得，，故错误；

B：由题设，得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；

C：由，当且仅当时取等号，故错误；

D：若，又，解得，显然满足条件，故正确.

故选：ABC．

三、填空题

11．已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

【答案】

由于，且，

所以，，

，

所以.

故答案为：

12．若，则下列不等式：①，②，③，④中正确的不等式的序号为______.

【答案】③④

由于，所以，，.

所以①错误.

，所以②错误.

，③正确.

，④正确.

故答案为：③④

四、解答题

13．（1）已知，，求和的取值范围；

（2）已知，，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

（1），

又，

，

又，

（2）设，得

即

而，

14．若，，，比较，，的大小.

【答案】.

详解：∵，，，

∴ ，即，

，即，

综上可得：.

 B能力提升 

1．已知、，则“”是“”成立的（            ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

由，可得，且，则可得到，故充分性成立；

反之若，可取，显然得到不等式不成立，故必要性不成立.

故选：A．

2．四个条件:;;;中,能使成立的充分条件的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

由题意,时,,∴;

时,,∴;

时,,,∴;

时,,∴

从而能使成立的充分条件的个数是3个

故选C.

3．（1）已知，求的取值范围；

（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？

【答案】（1）；（2）当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.

【详解】

（1）令，

则解得

有.

又由，有，

故的取值范围为.

（2）没有添加食盐和水时，食盐水的浓度为，

添加食盐和水时，食盐水的浓度为.

由，

有当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；

当时，食盐水的浓度变小.

4．已知，，则的范围是_________，的范围是________．

【答案】         

【详解】

，，两个不等式相加可得，解得，

设，

所以，，解得，，

因为，，

由不等式的基本性质可得.

故答案为：；.

C综合素养

1．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；

（2）已知c>a>b>0，求证：；

（3）观察以下运算：

1×5＋3×6>1×6＋3×5，

1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.

①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；

②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3

证明：（1）因为，所以，

又，即，

所以，所以，即≤；

（2）因为，所以，，

所以，

所以；

（3）解：①成立，证明如下：

∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，

又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；

②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3

2．对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．

(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

【答案】(1)一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为（答案不唯一，正确即可）(2)是，证明见解析

(1)解：由题意，可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．（答案不唯一，正确即可）

(2)解：点既是点的下位点，又是点的“上位点”，证明如下：

∵点是点的“上位点”，

∴，

又a，b，c，d均为正数，

∴，

∵，

∴是点的“下位点”，

∵，

∴是点的“上位点”，

综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．