高中1.5 全称量词与存在量词课后复习题

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

选题明细表

基础巩固

1.下列命题是全称量词命题的是(　B　)

A.某些函数图象不过原点

B.实数的平方为正数

C.方程x2+2x+5=0有实数解

D.有一个素数是偶数

解析:A.某些函数图象不过原点,不是全部的意思,不是全称量词

命题;

B.实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数,是全称量词

命题;

C.方程x2+2x+5=0有实数解,不是全称量词命题;

D项为存在量词命题.故选B.

2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　B　)

A.直角三角形的内角有一个是90°

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使>2

解析:A中“直角三角形的内角有一个是90°”是全称量词命题;

B中x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,

所以D是假命题.故选B.

3.(多选题)下列对命题“∃x∈R,x2>5”的表述方法正确的是(　ABD　)

A.有一个x∈R,使得x2>5成立

B.对有些x∈R,使得x2>5成立

C.任选一个x∈R,都有x2>5成立

D.至少有一个x∈R,使得x2>5成立

解析:选项C是全称量词命题.故选ABD.

4.下列命题是假命题的是(　C　)

A.∀x∈{x|-7<x<3},x∈{x|-7≤x<3}

B.∃x∈{x|x≤2},x2=1

C.∀x∈{x|x≥0},=+1

D.∃a,b∈R,(a-b)2=a2-b2

解析:A,B正确,对C,当x=1时,=,而+1=2,D中当b=0,

a∈R时,(a-b)2=a2-b2均成立.故选C.

5.命题“∀x>1,x>a”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.　 

解析:“若x>1,则x>a”是真命题,

则{x|x>1}⊆{x|x>a},所以a≤1.

答案:{a|a≤1}

6.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2是一个　　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用量词形式可写为　　　　　　　. 

解析:因为这个公式对所有实数a,b都成立,因此是一个全称量词命题,可改写为“∀a,b∈R,(a+b)(a-b)=a2-b2”.

答案:全称量词命题　∀a,b∈R,(a+b)(a-b)=a2-b2

能力提升

7.已知命题“存在x∈{x|-1≤x≤1},-x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是(　D　)

A.{a|a>-}    B.{a|a>4}

C.{a|-2<a<4} D.{a|a>-2}

解析:命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0”为真命题,等价于a>x2-3x

在{x|-1≤x≤1}上有解,令y=x2-3x(-1≤x≤1),则等价于a>ymin=-2,所以a>-2.故选D.

8.下列结论正确的是(　C　)

A.∀n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是真命题

B.∀n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题

C.∃n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题

D.∃n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是假命题

解析:当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,

当n=2时,2n2+5n+2能被2整除,

所以A,B,D错误,C项正确.故选C.

9.已知命题p:“∃x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是　　　　   　　.

解析:因为“∃x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-5)x+1=0有实数解,

所以a-5≠0,即a≠5,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠5}.

答案:{a∈R|a≠5}

10.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.命题q:∃x∈A,

x∈B是真命题,则m的取值范围为　　　　. 

解析:因为q:∃x∈A,x∈B是真命题,

所以A∩B≠,

所以B≠,即m≥2,所以m+1≥3,

所以A∩B≠再需满足m+1≤5即可,即m≤4.

故m的取值范围为{m|2≤m≤4}.

答案:{m|2≤m≤4}

11.设命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0.

若p,q都为真命题,求实数m的取值范围.

解:若命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题,则Δ=4-4(m-3)≥0,

解得m≤4;

若命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命题,

则Δ=4(m-5)2-4(m2+19)<0,所以m>,

又p,q都为真命题,

所以实数m的取值范围是<m≤4.

应用创新

12.已知函数y1=,y2=-2x2-m,若对∀x1∈{x|-1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤

x≤2},使得y1≥y2,求实数m的取值范围.

解:因为x1∈{x|-1≤x≤3},x2∈{x|0≤x≤2},

所以y1∈{y|0≤y≤9},y2∈{y|-4-m≤y≤-m},

又因为对∀x1∈{x|-1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤x≤2},使得y1≥y2,

即y1的最小值大于等于y2的最小值,

即-4-m≤0,所以m≥-4.