高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时学案设计

1.3　集合的基本运算

第2课时 补集及综合应用

【学习目标】

【自主学习】

一．全集

二．补集

三．补集与全集的性质：

(1)∁UU＝  ；(2)∁U∅＝   ；(3)∁U(∁UA)＝  ；

(4)A∪∁UA＝  ；(5)A∩∁UA＝  。

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈A，二者必居其一且只具其一．(  )

(2)全集没有补集．(  )

(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．(  )

(4)已知集合A＝{x| x＜1}，则∁RA＝{ x | x＞1}    (　　)

【经典例题】

题型一  补集定义的应用

例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.

【跟踪训练】1 设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).

题型二  交、并、补的综合运算

点拨：求集合交、并、补运算的方法

例2 已知全集U＝{ x| x≤4}，集合A＝{ x |－2＜x＜3}，B＝{ x |－3≤x≤2}，求A∩(∁UB).

【跟踪训练】2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.

题型三  利用集合间的关系求参数

例3已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求A∪B.

【跟踪训练】3 已知集合A＝{ x | x >a2+1或x＜a}，B＝{ x |2≤x≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围。

【当堂达标】

1.设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA等于(　　)

A．{0,1,2,3,4,5,6}   B．{x|x<0或x>6}    C．{x|0<x<6}      D．{x|x≤0或x≥6}

2.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)

A．{x|x≥0}        B．{x|x≤1}          C．{x|0≤x≤1}       D．{x|0＜x＜1}

3.若U={1，3，a²+2a+1}，A={1，3}，∁UA ={5}，则a=        .

4.设U=R，A={x|x>0}, B={x|x>1}，则A∩∁UB=               .

5.设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，∁UA ={5}，求m的值。

6.已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B.

【课堂小结】

一．全集、补集概念的理解

1.全集的相对性：全集只是一个相对性的概念，只包含所研究问题中涉及的所有元素，全集因所研究问题的不同而不同。

2.补集的相对性：集合A的补集的前提是A是全集U的自己，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的。

二．补集的性质

1.∁UA∪A=U, ∁UA∩A=∅.

2.∁U∅=U, ∁UU=∅.

【参考答案】

【自主学习】

一．全集， U.

二．不属于全集U  ∁UA  ∉

三．(1) ∅；(2) U；(3) A；(4) U；(5) ∅.

【小试牛刀】

(1)√ (2)× (3)√  (4) ×                

【经典例题】

例1解：根据题意可知，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA={4,5,6,7,8}，∁UB={1,2,7,8}。

【跟踪训练】1 解 根据三角形的分类可知
A∩B=∅，A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

例2 解：

∵A＝{ x|－2＜|＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁UB＝{ x | x＜－3，或2＜x≤4}．
∴A∩(∁UB)＝{ x |2＜x＜3}．
【跟踪训练】2 解　把全集U和集合A，B在数轴上表示如下 ：

由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2<x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，  (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

例3　解　由(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2∉A.

由A∩(∁UB)＝{4}，

∴4∈A且4∉B.

分别代入得，

∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3，4}，B＝{2，3}，

∴A∪B＝{2，3，4}．

【跟踪训练】3 思路分析：(1)正面求A∩B≠∅，情况比较多，过程较为复杂．有如下三种情况：

思路分析：(2)利用补集思想，考虑A∩B＝∅，则只有一种情况，如下图：

参数a满足：

解得，当 时，A∩B＝∅.
取其补集，即当时 ，A∩B≠∅。

【当堂达标】

1.B 解析：由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{ x | x <0或x >6}，故选B.

2. D解析：∵A∪B＝{ x | x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{ x |0＜x＜1}．故选D.3. 4

4.

5.m=2或m= - 4

6. 解：∵B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}，

∴A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．