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人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案，共8页。
基础知识
知识点1 指数函数与对数函数模型
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3 拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13 B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的产值为a(1＋n%)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝__2ln 2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1 024__.
[解析] 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝e eq \s\up4(\f(1,2)) k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝2时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alg2(1＋1)，
所以a＝100，
所以y＝100lg2(x＋1)，
所以当x＝7时y＝100lg2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝(eq \f(1,2))x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__④__(填序号)．
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝lg2x上，故函数y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数模型的应用
例1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由2011年世界人口数据，把y0＝70，r＝0.002 1代入马尔萨斯人口模型，得y＝70e0.002 1t.
解不等式y＝70e0.002 1t≥140得t≥eq \f(ln2,0.002 1)≈330.
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿．
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❶ 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[解析] (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7，
故10年后该县人口总数约有112.7万人．
(3)设x年后该县人口总数将达到120万人，
即y＝100(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人．
题型二 对数函数模型的应用
例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析] (1)将x0，x代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8 100，
得v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(8 100,100)－lg 2＝1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg 5，
即lg3eq \f(x,100)＝2lg 5，解得：x＝466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2.5＝\f(1,2)lg3\f(x1,100)－lg x0，,1.5＝\f(1,2)lg3\f(x2,100)－lg x0，))
两式相减可得1＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x1,x2)，解得：eq \f(x1,x2)＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y＝mlgax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❷ 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v＝klg3eq \f(Q,100)＋b，其中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5 m/s时，其耗氧量为2 700个单位．
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．
[解析] (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＝k·lg3\f(100,100)＋b，,1.5＝k·lg3\f(2 700,100)＋b，))
解得k＝eq \f(1,2)，b＝0，
所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100).
(2)由题意，有eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100)≤2.5，即lg3eq \f(Q,100)≤5，
所以lg3eq \f(Q,100)≤lg335，
由对数函数的单调性有0解得0故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要24 300个单位．
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例4 已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于eq \f(1,4).
[解析] (1)∵函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点，由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点，
∴f(x)有且仅有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝eq \f(2＋3,2)＝eq \f(5,2)，f(eq \f(5,2))＝lneq \f(5,2)＋5－6＝lneq \f(5,2)－1<0，
∴f(3)·f(eq \f(5,2))<0，∴f(x)的零点x0∈(eq \f(5,2)，3)．
取x2＝eq \f(\f(5,2)＋3,2)＝eq \f(11,4)，f(eq \f(11,4))＝lneq \f(11,4)＋2×eq \f(11,4)－6＝lneq \f(11,4)－eq \f(1,2)>0，∴f(eq \f(11,4))·f(eq \f(5,2))<0，∴x0∈(eq \f(5,2)，eq \f(11,4))．
∵|eq \f(11,4)－eq \f(5,2)|＝eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，∴满足题意的区间为(eq \f(5,2)，eq \f(11,4))．
课堂检测·固双基
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
[解析] 随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
A．y＝3xB．y＝lg3x
C．y＝x3D．y＝3x
[解析] 几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( D )
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，
所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( B )
A．y＝lg2xB．y＝2x
C．y＝x2D．y＝2x
[解析] 逐个检验可得答案为B．
5．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过__14__块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的eq \f(1,4)以下(lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
[解析] 由题意0.9xk两边同取对数，可得xlg 0.9因为lg 0.9所以x>eq \f(lg \f(1,4),lg 0.9)＝eq \f(－2lg 2,2lg 3－1)≈eq \f(－0.602 0,0.954 2－1)≈13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的eq \f(1,4)以下．
指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
基础知识
知识点1 指数函数与对数函数模型
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3 拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13 B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的产值为a(1＋n%)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝__2ln 2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1 024__.
[解析] 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝e eq \s\up4(\f(1,2)) k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝2时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alg2(1＋1)，
所以a＝100，
所以y＝100lg2(x＋1)，
所以当x＝7时y＝100lg2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝(eq \f(1,2))x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__④__(填序号)．
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝lg2x上，故函数y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数模型的应用
例1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由2011年世界人口数据，把y0＝70，r＝0.002 1代入马尔萨斯人口模型，得y＝70e0.002 1t.
解不等式y＝70e0.002 1t≥140得t≥eq \f(ln2,0.002 1)≈330.
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿．
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❶ 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[解析] (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7，
故10年后该县人口总数约有112.7万人．
(3)设x年后该县人口总数将达到120万人，
即y＝100(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人．
题型二 对数函数模型的应用
例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析] (1)将x0，x代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8 100，
得v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(8 100,100)－lg 2＝1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg 5，
即lg3eq \f(x,100)＝2lg 5，解得：x＝466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2.5＝\f(1,2)lg3\f(x1,100)－lg x0，,1.5＝\f(1,2)lg3\f(x2,100)－lg x0，))
两式相减可得1＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x1,x2)，解得：eq \f(x1,x2)＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y＝mlgax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❷ 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v＝klg3eq \f(Q,100)＋b，其中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5 m/s时，其耗氧量为2 700个单位．
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．
[解析] (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＝k·lg3\f(100,100)＋b，,1.5＝k·lg3\f(2 700,100)＋b，))
解得k＝eq \f(1,2)，b＝0，
所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100).
(2)由题意，有eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100)≤2.5，即lg3eq \f(Q,100)≤5，
所以lg3eq \f(Q,100)≤lg335，
由对数函数的单调性有0
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例4 已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于eq \f(1,4).
[解析] (1)∵函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点，由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点，
∴f(x)有且仅有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝eq \f(2＋3,2)＝eq \f(5,2)，f(eq \f(5,2))＝lneq \f(5,2)＋5－6＝lneq \f(5,2)－1<0，
∴f(3)·f(eq \f(5,2))<0，∴f(x)的零点x0∈(eq \f(5,2)，3)．
取x2＝eq \f(\f(5,2)＋3,2)＝eq \f(11,4)，f(eq \f(11,4))＝lneq \f(11,4)＋2×eq \f(11,4)－6＝lneq \f(11,4)－eq \f(1,2)>0，∴f(eq \f(11,4))·f(eq \f(5,2))<0，∴x0∈(eq \f(5,2)，eq \f(11,4))．
∵|eq \f(11,4)－eq \f(5,2)|＝eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，∴满足题意的区间为(eq \f(5,2)，eq \f(11,4))．
课堂检测·固双基
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
[解析] 随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
A．y＝3xB．y＝lg3x
C．y＝x3D．y＝3x
[解析] 几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( D )
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，
所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( B )
A．y＝lg2xB．y＝2x
C．y＝x2D．y＝2x
[解析] 逐个检验可得答案为B．
5．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过__14__块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的eq \f(1,4)以下(lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
[解析] 由题意0.9xk
又x∈N*，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的eq \f(1,4)以下．
指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
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