高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集学案设计

2．2.2　不等式的解集

课程标准

掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　不等式的解集与不等式组的解集

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

知识点二　绝对值不等式的几何意义

(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离AB＝________ .

(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝________．

(3)绝对值不等式的几何意义

知识点三　绝对值不等式及其解法

(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式．

(2)绝对值不等式的解集．

(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

　基 础 自 测

1．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为(　　)

A.13　　　B．0    C．4　　　 D．－2

2．不等式 的解集是(　　)

A.{x|x＜－2}       B．{x|x＜2}

C.{x|－2＜x≤3}    D．{x|－2＜x＜3}

3．一元一次不等式组的解集是，则a与b的关系为(　　)

A.a≥b    B．a>b

C.a≤b    D．a<b

4．不等式|x＋1|＜5的解集为________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　不等式(组)的解集[经典例题]

例1　(1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

①

②

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．

(2)求关于x的不等式的解集：

①2x＋a>0；②ax>1.

方法归纳

一元一次不等式组的求解策略

(1)解不等式常用到的不等式的性质

性质1　a>b⇒a＋c>b＋c

性质2　a>b，c>0⇒ac>bc

性质3　a>b，c<0⇒ac<bc

推论　a＋b>c⇒a>c－b

(2)解不等式(组)的注意点

①移项要改变项的符号．

②利用性质3时要改变不等号的方向．

③不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．

跟踪训练1　(1)不等式组的解集是(　　)

A．{x|x＜－2}    B．{x|－2＜x≤1}

C．{x|x≤－2}    D．{x|x≥－2}

(2)已知不等式ax－1>x＋2的解集为(2，＋∞)，求a的值．

题型2　解绝对值不等式

例2　求下列绝对值不等式的解集：

(1)|3x－1|≤6；

(2)3≤|x－2|<4.

方法归纳

1．绝对值不等式的解题策略：等价转化法

(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：

|x|<a⇔－a<x<a.

|x|>a⇔x>a或x<－a.

(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：

a<|x|<b(0<a<b)⇔a<x<b或－b<x<－a.

2．解绝对值不等式的基本步骤

(1)去绝对值号，进行等价转化；

(2)解不含绝对值号的不等式．

跟踪训练2　解不等式：1＜|x－2|≤3.

例3　解下列不等式：

(1)|x－1|＞|2x－3|；

(2)|x－1|＋|x－2|＞2.

跟踪训练3　不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是(　　)

A．{x|x＞}    B．{x|<x≤3}

C．{x|x≥3}    D．{x|－3＜x≤0}

题型3　数轴上的基本公式及应用[经典例题]

例4　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．

方法归纳

数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．

跟踪训练4　已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．若PQ的中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．

2．2.2　不等式的解集

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点二

(1)|a－b|　(2)　(3)小于　大于

[基础自测]

1．解析：根据数轴标好相应的点易判断．

答案：C

2．解析：由可得则x<－2，故选A.

答案：A

3．解析：因为不等式组的解集是(a，＋∞)，所以a≥b.

答案：A

4．解析：|x＋1|<5⇒－5<x＋1<5⇒－6<x<4.

答案：{x|－6<x<4}

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．

①解不等式2x＋3>1，得x>－1，

解不等式x－2<0，得x<2，

则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．

将解集表示在数轴上如下：

②解不等式x－>，得x>2，

解不等式x＋8<4x－1，得x>3，

则不等式组的解集为{x|x>3}，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 (2)①2x>－a，x>－，

所以不等式解集为{x|x>－}．

②当a＝0时，无解；当a>0时，得x>；

当a<0时，得x<.

所以不等式解集：

当a>0时，(，＋∞)；当a<0时，(－∞，)；

当a＝0时，∅.

跟踪训练1　解析：(1)

解①，得x≤1，解②，得x<－2，

∴不等式组的解集为{x|x<－2}，故选A.

 (2)化为：ax－x>3，(a－1)x>3.

当a－1>0即a>1时，得x>，

所以＝2，所以a＝.

答案：(1)A　(2)见解析

例2　【解析】　(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，

即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，

所以原不等式的解集是{x|－≤x≤}．

(2)因为3≤|x－2|<4，所以3≤x－2<4或－4<x－2≤－3，即5≤x<6或－2<x≤－1.

所以原不等式的解集为：{x|－2<x≤－1或5≤x<6}．

跟踪训练2　解析：原不等式等价于不等式组

即

解得－1≤x＜1或3＜x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

例3　【解析】　(1)因为|x－1|＞|2x－3|，

所以(x－1)2＞(2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1)2＜0，

所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)＜0，

即(3x－4)(x－2)＜0，

所以＜x＜2.

即原不等式的解集为{x}．

(2)原不等式⇔或或⇔或或⇔x＜或x＞，

所以原不等式的解集为{x}．

跟踪训练3　解析：当x＜－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3＞3，所以x＞，故＜x≤3.当x＞3时，x＋3－(x－3)＞3，6＞3，所以x＞3.综上可知原不等式的解集为{x|x＞}．

答案：A

例4　【解析】　(1)由题意知可以化为或或或解得x＝1.

∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．

(2)不存在这样的P(x)，理由如下：

∵|AB|＝|3－(－1)|＝4<6，

∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．

跟踪训练4　解析：由题意，知||>1，

即|－1|>1，

所以－1>1或－1<－1，解得m>4或m<0，

所以实数m的取值范围是(－∞，0)