高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质第2课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质第2课时学案设计，共13页。学案主要包含了正弦函数等内容，欢迎下载使用。

导语
我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．
一、正弦函数、余弦函数的定义域
问题1 观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？
提示 定义域都是R，值域都是[－1,1]．
知识梳理
正、余弦函数的定义域
例1 求函数y＝eq \r(1－2cs x)＋lg(2sin x－1)的定义域．
解 要使函数有意义，
只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,2sin x－1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x≤\f(1,2)，,sin x>\f(1,2).))
如图所示，
cs x≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(5,3)π＋2kπ，k∈Z))))；
sin x>eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ它们的交集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ≤x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))，即为函数的定义域．
反思感悟 用三角函数图象求解定义域的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出方程或不等式的解集．同时注意区间端点的取舍．
跟踪训练1 求函数f(x)＝eq \r(2cs2x＋sin x－1)的定义域．
解 要使函数有定义，
需满足2cs2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
解得－eq \f(1,2)≤sin x≤1，
由正弦函数的图象，可得函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(7,6)π，k∈Z)))).
二、正弦函数、余弦函数的值域
知识梳理
正、余弦函数的值域
例2 求下列函数的值域：
(1)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)y＝cs2x－4cs x＋5，x∈R.
解 (1)由y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
可得x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
由函数y＝cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的图象(图略)可得值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
(2)y＝cs2x－4cs x＋5，令t＝cs x，x∈R，
则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1，
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2,10]．
反思感悟 三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acs x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acs(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cs(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
跟踪训练2 已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求f(x)的最大值和最小值．
解 ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
当2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，
即x＝0时，f(x)min＝－eq \r(3)＋1，
当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,12)时，f(x)max＝3，
综上，当x＝0时，f(x)min＝－eq \r(3)＋1，
当x＝eq \f(5π,12)时，f(x)max＝3.
三、正弦函数、余弦函数的奇偶性与周期性
问题2 观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的奇偶性吗？
提示 由正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称可知，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数．
问题3 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示 通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质．
知识梳理
正、余弦函数的奇偶性与周期性
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
延伸探究
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为________．
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－[－f(x)]＝f(x)，∴T＝π，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acs ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．
跟踪训练3 函数f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________.
答案 偶函数 ±2
解析 f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))＝－eq \f(1,2)cs ωx.
∴f(－x)＝－eq \f(1,2)cs(－ωx)
＝－eq \f(1,2)cs ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，∴ω＝±2.
1．知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的定义域．
(2)正弦函数、余弦函数的值域(最值)．
(3)正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性．
2．方法归纳：整体代换法、换元法，数形结合法．
3．常见误区：求值域时忽视sin x，cs x本身具有的范围．
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．函数y＝|cs x|，x∈R的周期为( )
A．π B．2π C.eq \f(π,2) D．4π
答案 A
解析 y＝|cs x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cs x|的周期为π.
3．函数y＝lg2(2sin x＋1)的定义域为____________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ解析 要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－eq \f(1,2).画出y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的草图，如图所示．
当－eq \f(π,6)－eq \f(1,2)成立，
所以sin x>－eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ即函数y＝lg2(2sin x＋1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ4．函数y＝3－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的值域为________．
答案 [－1,7]
解析 因为－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1，
所以－1≤3－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤7，
故该函数的值域为[－1,7]．
1．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
答案 D
解析 由题意得T＝eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝4π.
2．设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
答案 B
解析 ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))
＝－cs 2x，x∈R，
又T＝eq \f(2π,2)＝π，且f(－x)＝－cs(－2x)
＝－cs 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
3．函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是( )
答案 A
解析 ∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x
＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
4．(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin 2x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) D．y＝cs eq \f(1,2)x
答案 AC
解析 A中，由y＝|sin x|的图象知，
y＝|sin x|是周期为π的偶函数，所以A正确；
B中，函数为奇函数，所以B不正确；
C中，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，T＝π，
所以C正确；
D中，函数y＝cs eq \f(1,2)x，T＝4π，所以D不正确．
5．函数y＝cs2x＋sin x的最大值为( )
A．2 B.eq \f(5,4) C．1 D．0
答案 B
解析 y＝cs2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
y＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，
当t＝eq \f(1,2)时，ymax＝eq \f(5,4).
6．(多选)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为( )
A．2 B．－2 C．0 D．－1
答案 AB
解析 当a>0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝3，,－a＋b＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))
所以ab＝2.
当a<0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,－a＋b＝3，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))
所以ab＝－2，
综上所述ab＝±2.
7．设函数f(x)＝x3cs x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案 －9
解析 令g(x)＝x3cs x，
∴g(－x)＝(－x)3cs(－x)＝－x3cs x
＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
8．函数f(x)＝lg cs x＋eq \r(25－x2)的定义域为________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(3π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，5))
解析 由题意得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x>0，,25－x2≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x>0，,－5≤x≤5.))
作出y＝cs x的图象，如图所示．
结合图象可得函数的定义域为
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(3π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，5)).
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(5π,2)))；
(2)f(x)＝cs x－x3sin x.
解 (1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(5π,2)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))
＝－2sin eq \f(2,3)x，
又f(－x)＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)x))
＝2sin eq \f(2,3)x＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝cs(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cs x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
10．设a，b为实数，已知定义在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，求a，b的值．
解 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
则2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以－1≤sin 2x≤1，
因为函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，
当a>0时，有2a＋b＝1，－2a＋b＝－5，
解得a＝eq \f(3,2)，b＝－2；
当a<0时，有2a＋b＝－5，－2a＋b＝1，
解得a＝－eq \f(3,2)，b＝－2.
11．设函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,5))).若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,2)))T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝eq \f(1,2)T＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,\f(π,2))＝2.
12．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于( )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π
答案 C
解析 代入排除，当φ＝eq \f(π,2)时，
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x为偶函数．
13．已知函数f(x)＝sin ωx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上恰有4个零点，则正整数ω的值为( )
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
答案 C
解析 因为函数f(x)＝sin ωx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上恰有4个零点，
所以eq \f(3,2)·eq \f(2π,ω)≤eq \f(3π,4)<2·eq \f(2π,ω)，
解得4≤ω所以正整数ω的值为4或5.
14．函数f(x)＝3cs2x－4cs x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．
答案 eq \f(π,3) －eq \f(1,4)
解析 令t＝cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，
∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
y＝3t2－4t＋1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2－eq \f(1,3).
∵y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2－eq \f(1,3)在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是减函数，
∴当t＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(π,3)时，
ymin＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－4×eq \f(1,2)＋1＝－eq \f(1,4).
15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值与最小值之和为________．
答案 2π
解析 作出函数y＝sin x的图象，如图所示．由图可知，
b－a的最大值为eq \f(13π,6)－eq \f(5π,6)＝eq \f(4π,3)，
b－a的最小值为eq \f(3π,2)－eq \f(5π,6)＝eq \f(2π,3).
所以最大值与最小值之和为eq \f(4π,3)＋eq \f(2π,3)＝2π.
16．若cs2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．
解 因为cs2θ＋2msin θ－2m－2<0，
即sin2θ－2msin θ＋2m＋1>0恒成立，
令t＝sin θ，则t∈[－1,1]，
所以不等式可化为2m(t－1)当t＝1时，不等式变为0<2恒成立，
所以m∈R；
当t∈[－1,1)时，不等式可化为
2m>eq \f(t2＋1,t－1)＝eq \f(t－1＋12＋1,t－1)
＝2－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－t＋\f(2,1－t)))恒成立，
因为2－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－t＋\f(2,1－t)))≤2－2eq \r(2)，
当且仅当1－t＝eq \f(2,1－t)，
即t＝1－eq \r(2)时等号成立，
所以2m>2－2eq \r(2)，解得m>1－eq \r(2)，
所以实数m的取值范围是(1－eq \r(2)，＋∞)．y＝sin x
y＝cs x
图象
定义域
R
R
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
y＝sin x
y＝cs x
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
2π
2π