苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质第3课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质第3课时学案，共15页。学案主要包含了正弦函数，利用正弦函数等内容，欢迎下载使用。

一、正弦函数、余弦函数的单调性
问题1 观察正弦函数y＝sin x的函数图象，你能写出y＝sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调区间吗？
提示
由上图我们发现，区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))正好是函数的一个周期，其中在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上函数单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数单调递减．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性
例1 求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的单调区间．
解 令z＝x－eq \f(π,3)，则y＝2sin z.
∵z＝x－eq \f(π,3)是增函数，
∴y＝2sin z是增(减)函数时，
函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))也是增(减)函数．
由z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
得x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，
故函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的单调区间．
解 由例题知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤eq \f(5π,6)或eq \f(11π,6)≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(11π,6))).
∴函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)，2π))，减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(11π,6))).
2．求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的增区间．
解 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
令z＝x－eq \f(π,3)，
而y＝－sin z的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z，
∴令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(11π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋2kπ，\f(11π,6)＋2kπ))，k∈Z.
反思感悟 求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1 求函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的单调区间．
解 令2kπ－π≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－eq \f(5π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
∴增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
令2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋eq \f(π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(7π,6)(k∈Z)，
∴kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)(k∈Z)，
∴减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．
∴函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)，
减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．
二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 比较大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20π,7)))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3))).
解 (1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上是减函数，且90°<220°<230°<270°，
所以sin 220°>sin 230°.
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20π,7)))＝sin eq \f(8π,7)＝－sin eq \f(π,7)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3)))＝cs eq \f(2π,3)＝－cs eq \f(π,3)＝－sin eq \f(π,6).
因为函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，而－eq \f(π,2)所以sin eq \f(π,7)－sin eq \f(π,6).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20π,7)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3))).
反思感悟 比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练2 比较大小：
(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))与cs eq \f(7π,6)；
(2)cs 1与sin 2.
解 (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))＝cs eq \f(7π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,8)))
＝－cs eq \f(π,8)，
而cs eq \f(7π,6)＝－cs eq \f(π,6)，
∵函数y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，
且0cs eq \f(π,6).
∴－cs eq \f(π,8)<－cs eq \f(π,6)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))(2)∵1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs 1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋1))，
∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数，
又eq \f(π,2)＋1,2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且eq \f(π,2)＋1>2，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋1))三、正弦函数、余弦函数的对称性
问题2 正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示 有，(kπ，0)(k∈Z)．
问题3 正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示 是轴对称图形，方程为x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
问题4 类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
提示 对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称性
例3 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴是直线________，对称中心是________．
答案 x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)
解析 要使sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝±1，必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴是直线x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
∵函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，∴2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)．
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)．
反思感悟 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.
跟踪训练3 求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的对称轴、对称中心．
解 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
令2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的对称轴为
x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
对称中心的横坐标满足2x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，
即x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,4)))的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z.
1．知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的单调性．
(2)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．
(3)正弦函数、余弦函数的对称性．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：单调区间漏写k∈Z.
1．函数y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 因为y＝cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先增后减，
所以y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先减后增．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案 C
解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cs 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，
得sin 11°即sin 11°3．(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )
A．y轴 B．直线x＝－eq \f(π,2)
C．直线x＝eq \f(π,2) D．直线x＝π
答案 BC
解析 当x＝eq \f(π,2)时，y取最大值，
∴x＝eq \f(π,2)是一条对称轴，
当x＝－eq \f(π,2)时y取最小值，
∴x＝－eq \f(π,2)是一条对称轴．
4．函数f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的减区间是__________________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))(k∈Z)
解析 令2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，
得eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(5π,8)＋kπ(k∈Z)，
即f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))(k∈Z)．
1．函数y＝|sin x|的一个增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
答案 C
解析 由y＝|sin x|的图象知，该函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上是增函数．
2．(多选)关于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
答案 ACD
解析 因为函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，
所以f(x)＝sin 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，故A错误；
因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)
＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
故B正确；
f(x)的最小正周期为π，故C错误；
f(x)的最大值为1，故D错误．
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,4) B．x＝－eq \f(π,2)
C．x＝eq \f(π,8) D．x＝eq \f(5π,4)
答案 C
解析 逐一判断四个选项是否满足方程2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)即可．
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的周期为π，则其增区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,4)，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,8)，2kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)
答案 C
解析 ∵周期T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)．
5．当x∈[－π，π]时，函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))的减区间为( )
A．[－π，0] B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
答案 C
解析 由题意可知y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－3sin x，即求正弦函数的增区间．正弦函数的增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，
结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意．
则函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
6．(多选)如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值可以为( )
A．－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C．－eq \f(π,2) D.eq \f(π,2)
答案 CD
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
可得2π＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
即φ＝－eq \f(3π,2)＋kπ，k∈Z，
当|φ|取最小值时，
k＝1，即φ＝－eq \f(π,2)，或k＝2，即φ＝eq \f(π,2).
故|φ|取最小值时，φ的值为±eq \f(π,2).
7．函数y＝cs x在区间[－π，a]上是增函数，则a的取值范围是________．
答案 (－π，0]
解析 因为y＝cs x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π8．函数f(x)＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))，x∈[0，π]的增区间为________，减区间为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))
解析 f(x)＝－eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时，f(x)是减函数．
又0≤x≤π，所以0≤x≤eq \f(3π,4)，
即f(x)的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，
同理得f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
所以f(x)在x∈[0，π]上的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，
增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
9．已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).
(1)求f(x)的增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解 (1)令2kπ－π≤3x＋eq \f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，
解得eq \f(2kπ,3)－eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2kπ,3)－eq \f(π,12)(k∈Z)．
∴f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2kπ,3)－\f(5π,12)，\f(2kπ,3)－\f(π,12)))(k∈Z)．
(2)当3x＋eq \f(π,4)＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.即x＝eq \f(2kπ,3)－eq \f(5π,12)(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
10．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，若f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)的增区间．
解 (1)依题意T＝π，∴ω＝2，
f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)，
又f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称，
∴2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＋φ＝kπ，k∈Z，
得φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
又|φ|≤eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，
∴f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z.
11．(多选)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称
C．f(x)与x轴的一个交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数
答案 ABC
解析 A显然正确．
f(x)的对称轴方程为x＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，
即x＝－eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
当k＝3时，x＝eq \f(8π,3)，故B正确．
令f(x)＝0，
∴x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
令k＝0，∴x＝eq \f(π,6)，故C正确．
令t＝x＋eq \f(π,3)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))，
由y＝cs t的图象知y＝cs t在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))上是增函数，故D不正确．
12．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))，若f(x)关于x＝eq \f(π,8)对称，则f(x)的一个增区间可以是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)，\f(9π,8)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8)))
答案 D
解析 ∵f(x)关于x＝eq \f(π,8)对称，
则eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，
又∵|φ|∴f(x)＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)，k∈Z.
当k＝0时，得eq \f(π,8)≤x≤eq \f(5π,8).
即f(x)的一个增区间可以是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8))).
13．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))
B．cs 400°>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－50°))
C．sin 3D．sin eq \f(8π,7)>cs eq \f(7π,8)
答案 BD
解析 y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上是增函数，
又－eq \f(π,2)<－eq \f(π,8)<－eq \f(π,10)<0，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))cs 400°＝cs 40°>cs 50°＝cs(－50°)，
故B成立．
y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数，
又eq \f(π,2)<3<4∴sin 3>sin 4，故C不成立．
sin eq \f(8π,7)＝－sin eq \f(π,7)，
cs eq \f(7π,8)＝－cs eq \f(π,8)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝－sin eq \f(3π,8).
∵0∴sin eq \f(π,7)∴sin eq \f(8π,7)>cs eq \f(7π,8)，故D成立．
14．将sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为______________．
答案 sin 3解析 ∵1sin(π－3)＝sin 3，y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，且0<π－3<1<π－2∴sin(π－3)即sin 315．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cs A>sin B，则( )
A．cs C>0 B．cs C<0
C．cs C＝0 D．cs C≥0
答案 B
解析 因为角A，B均为锐角，
所以0cs A>sin B⇒cs A>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))⇒Aeq \f(π,2)，
而C为三角形的内角，所以eq \f(π,2)因此cs C<0.
16．已知函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增，求ω的取值范围．
解 ∵函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增，
当－eq \f(π,6)－eq \f(πω,6)＋eq \f(π,3)<ωx＋eq \f(π,3)又当x＝0时，ωx＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(πω,6)＋\f(π,3)≥－\f(π,2)，,\f(πω,3)＋\f(π,3)≤\f(π,2)，))解得ω≤eq \f(1,2)，
∵ω>0，∴0<ω≤eq \f(1,2)，
因此，ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).正弦函数
余弦函数
图象
单调性
在每一个闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，
在每一个闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上都是减函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上都是增函数，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)上都是减函数
正弦函数
余弦函数
图象
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z