高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质教案

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本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．
教学重点：通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律。
教学难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的定义域是________．
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))
2．函数y＝tan x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))的值域是________．
答案：[0,1]
3．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的单调递增区间为________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为________．
答案：eq \f(π,|ω|)
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
思考1 如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度．
思考2 如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象？
答案 向左平移eq \f(π,6)个单位长度．
梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin eq \f(1,2)x的周期分别是什么？
答案 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
答案 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的eq \f(1,2)，y＝sin eq \f(1,2)x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
思考3 函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到．
知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝eq \f(1,2)sin x的函数值有何关系？
答案 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝eq \f(1,2)sin x的函数值是y＝sin x的函数值的eq \f(1,2).
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
典型例题
类型一 平移变换
例1 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的．
引申探究
1．若将本例中y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))改为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，其它不变，又该怎样变换？
解 y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，可以看作是把y＝sin x上所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到．
2．若将本例改为：函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？
解 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))，可由y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到．
总结 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度．
变式训练 要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
答案 A
解析 y＝sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4))).
若设f(x)＝sin 2x＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，所以向左平移eq \f(π,8)个单位长度，即可得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
类型二 伸缩变换
例2 将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．
答案 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))
引申探究
若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________．
答案 y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
总结 对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin eq \f(x,ω).若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．
类型三 图象变换的综合应用
例3 把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，求f(x)的解析式．
解 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up7(纵坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up7(横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))eq \(―――――――――→,\s\up7(向左平移eq \f(π,6)个单位长度))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)＋\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝3cs x.
所以f(x)＝3cs x.
总结 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
变式训练 将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 B
解析 因为函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)＋m))，所以eq \f(π,3)＋m＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即m＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为eq \f(π,6)，故选B.
类型四 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例4 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解 由图象知振幅A＝3，
又T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))可知，－eq \f(π,6)×2＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.
又|φ|总结 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝eq \f(2π,|ω|)，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
类型五 函数y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))，|φ|例5 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,8).
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解 (1)由2x＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)－eq \f(φ,2)，k∈Z，
令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)－eq \f(φ,2)＝eq \f(π,8)，k∈Z，得φ＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－eq \f(3π,4).
(2)由(1)知，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4))).
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)，故函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(5π,8)，kπ＋\f(9π,8)))(k∈Z)．
当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
总结 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．
变式训练 已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2)))上最高点为(2，eq \r(2))，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域．
解 (1)由题意可知A＝eq \r(2)，eq \f(T,4)＝6－2＝4，
∴T＝16，即eq \f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq \f(π,8)，
∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋φ)).
又图象过最高点(2，eq \r(2))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×2＋φ))＝1，
故eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,4)，∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).
(2)∵－6≤x≤0，∴－eq \f(π,2)≤eq \f(π,8)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,4)，
∴－eq \r(2)≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))≤1.
即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－eq \r(2)，1].
本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求.课程目标
学科素养
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
a数学抽象: 理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
b逻辑推理: 通过分析A、ω、φ，研究图像变换注意事项.
c数学运算: 求函数的定义域、值域、单调区间等.
d直观想象: 图像的变换.