2020-2021学年7.3 三角函数的图象和性质课堂检测

7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)

基础过关练

题组一　三角函数图象的变换

1.(2020江苏扬州高一第一学期高一期末)为了得到函数y=sin的图象,只需将y=sin 2x的图象上每一点(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.向左平移个单位长度 

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度 

D.向右平移个单位长度

2.(多选)(2019云南曲靖第一中学高一上学期期中)下列四种变换方式,其中能将y=sin x的图象变为y=sin的图象的是(　　)

A.将图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)

B.将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度

C.将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度

D.将图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)

3.某同学给出了以下结论:

①将y=cos x的图象向右平移个单位,得到y=sin x的图象;

②将y=sin x的图象向右平移2个单位,得到y=sin(x+2)的图象;

③将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位,得到y=sin(-x-2)的图象;

④函数y=sin的图象是由y=sin 2x的图象向左平移个单位得到的.

其中正确的结论是　　　　(将所有正确结论的序号都填上). 

题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用

4.(多选)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有的性质是(　　)

A.在上单调递增,为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线x=对称

C.在上单调递增,为奇函数

D.最小正周期为π,图象关于点对称

5.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)

A.ω=2,φ= 

B.ω=1,φ=-

C.ω=2,φ= 

D.ω=

6.(2020福建三明第一中学高二下学期段考)已知函数f(x)=2sin,则下列关于函数f(x)图象对称性的描述正确的是(　　)

A.关于直线x=对称

B.关于直线x=对称

C.关于点对称

D.关于点对称

7.若函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=4sin的图象,则f=　　　　. 

8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.

(1)求A,ω,φ的值;

(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.

9.(2019江苏苏州陆慕高级中学高一上学期月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示.

(1)求出函数f(x)的解析式;

(2)若将函数f(x)的图象向右移动个单位长度,再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求出函数y=g(x)的单调递增区间及其图象的对称中心.

能力提升练

题组一　三角函数图象的变换

1.(2020江苏通州、海门、启东高一上学期期末联考,)要得到函数y=cos 2x的图象,只需要把函数y=sin的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

2.(多选)()已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(　　)

A.把C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线C2

B.把C1向左平移个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

3.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)要得到函数g(x)=cos的图象,只需将函数f(x)=sin图象上所有的点(　　)

A.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

B.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变

C.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度

D.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度

4.()将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为,则函数g(x)的图象的—个对称中心为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.

C. D.

5.(2019安徽安庆高三期末,)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则下列命题中是假命题的是(　　)

A.函数y=g(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为

B.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称

C.函数y=g(x)的图象关于点对称

D.函数y=g(x)在上为减函数

题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用

6.(2020江苏盐城伍佑中学、北京师范大学盐城附属学校高一联考,)已知函数f(x)=2sin,把函数f(x)的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,当x∈时,方程g(x)-k=0有两个不同的实根,则实数k的取值范围为(　　)

A.[1,] B.[,2)

C.[1,2] D.[1,2)

7.(2020四川攀枝花高一上高中教学质量监测,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列有关f(x)性质的描述正确的是(　　)

A.,k∈Z为其单调递减区间

B.将f(x)的图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数

C.φ=

D.直线x=+kπ(k∈Z)为其图象的对称轴

8.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期末,)设偶函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,△KMN为等腰直角三角形,∠KMN=90°,则f的值为(　　)

A. B.

C.- D.

9.(2020江苏苏州震泽中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象在区间[-1,1]上恰有3个最低点,则ω的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.[4π,6π)

10.(2020江苏淮安楚中高中、新马高中、清浦高中、洪泽高中四校高三上学期联考,)将函数f(x)=cos(x+φ)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,所得函数图象关于原点对称,则φ=　　　　. 

11.(2020江苏盐城伍佑中学、北京师范大学盐城附属学校高一上学期段考,)函数f1(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象过点(0,1),如图所示.

(1)求函数f1(x)的解析式;

(2)将函数y=f1(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=f2(x)的图象,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的取值集合;

(3)若f1(α)=-2,求f1的值.

12.()函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若方程f(x)=a在上有两个不同的实数根,试求a的取值范围;

(3)若0<a<1,求函数y=loga[f(x)-f 2(x)]在上的单调递减区间.

答案全解全析

7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)

基础过关练

1.B　y=sin,根据左加右减知,为了得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象上每一点向左平移个单位长度.故选B.

2.AB　将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),可得y=sin的图象,故A正确;

将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),可得y=sin 2x的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,故B正确;

将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到y=sin=cos 2x的图象,故C错误;

将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故D错误.

故选AB.

3.答案　①③

解析　由图象平移变换可知①③正确.

②将y=sin x的图象向右平移2个单位,得到y=sin(x-2)的图象.

④函数y=sin的图象是由y=sin 2x的图象向左平移个单位得到的.

4.ABD　将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin 2=-cos 2x的图象,

因为g(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=g(x),且g(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g(x)为偶函数,且在上单调递增,所以A正确,C错误.

g(x)max=1,g=-cos 3π=1,所以B正确.g=0,最小正周期为=π,所以D正确.

故选ABD.

5.A　函数的最小正周期T==π,

∵ω>0,∴=π,解得ω=2,

当x=时,sin,

即sin,

∵|φ|<,∴-,

∴-,∴,

解得φ=,故选A.

6.A　令2x+,其中k∈Z,所以x=,k∈Z,当k=0时,x=,故函数f(x)的图象关于直线x=对称,因为无整数解k,所以函数f(x)的图象不关于直线x=对称,故A正确,B不正确;令2x+=kπ,其中k∈Z,所以x=,k∈Z,因为无整数解k,所以函数f(x)的图象不关于点对称,故C不正确;同理,函数f(x)的图象不关于点对称,故D不正确.故选A.

7.答案　4

解析　将g(x)=4sin的图象向左平移个单位后得到函数f(x)的图象,

所以f(x)=4sin=4sin 2x,

则f=4.

8.解析　(1)由题图知A=,

最小正周期T=4×=π,

∴ω==2,

∴f(x)=sin(2x+φ),

∵图象过点,

∴f,

∴2×+2kπ,k∈Z,

∴φ=-+2kπ,k∈Z,

∵0<φ<π,∴φ=.

(2)由(1)可知f(x)=.

∵x∈,∴2x+∈,

∴sin∈,

∴函数f(x)的值域为.

9.解析　(1)由得

由题图可得=2π,

∴T=4π,

∴ω=,∴f(x)=4sin+2,

∵f=6,∴,k∈Z,

又|φ|<,∴φ=.

综上, f(x)=4sin+2.

(2)由题意可得g(x)=4sin+2,

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

解得x∈,k∈Z.

故函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.

令2x+=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,故函数y=g(x)图象的对称中心为,k∈Z.

能力提升练

1.C　把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,可得函数y=cos=cos 2x的图象,故选C.

2.AD　把C1向左平移个单位长度,得到y=cos=sinx+的图象,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象,故A正确,B不正确.

C1:y=cos x=sin,把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到y=sin2x++=sin的图象,故C不正确,D正确.

故选AD.

3.A　由题意可得f(x)=sin,故只需将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,即可得到函数g(x)=cos的图象,故选A.

4.D　由题意,将函数f(x)=sin2ωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=sin的图象,因为函数g(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为,

所以,

所以T=π=,解得ω=1,

所以g(x)=sin.令2x+=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,

当k=1时,x=,

所以函数g(x)的图象的—个对称中心为,故选D.

5.C　由题意得ω==2,所以将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到y=g(x)=cos的图象.

函数y=g(x)图象的对称中心的横坐标满足2x++kπ(k∈Z),即x=(k∈Z),

故函数y=g(x)的图象不关于点对称,故C中的命题是假命题,

故选C.

6.D　把函数f(x)的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin的图象.当x∈时,g(x)的图象如图,

通过图象可知,方程g(x)-k=0有两个不同的实根时,k∈[1,2).故选D.

7.B　由题图可知,函数的最大值为1,最小值为-1,∴A=1.

∵,

∴T=π,

∴ω==2,

∴f(x)=sin(2x+φ).

又函数图象过点,

∴sin=-1.

∵0<φ<π,∴φ=,

∴f(x)=sin,

令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间为+kπ,k∈Z,

令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,∴图象的对称轴为直线x=-(k∈Z),将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为y=cos 2x,该函数是偶函数.故选B.

8.B　由题图可知|KN|=1,

所以最小正周期T=2,A=,

所以ω==π,所以f(x)=cos(πx+φ).

又因为f(x)为偶函数,所以φ=kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=0,所以f(x)=cos πx,所以f,故选B.

9.C　∵x∈[-1,1],

∴ωx+∈(ω>0).

根据正弦型函数图象的特点知,y轴左侧有1个或2个最低点.

①若函数图象在y轴左侧仅有1个最低点,则≤ω+,解得≤ω<,

∴-ω+∈(-5π,-3π],此时在y轴左侧至少有2个最低点.

∴函数图象在y轴左侧仅有1个最低点不符合题意;

②若函数图象在y轴左侧有2个最低点,则≤ω+,解得≤ω<,

又-≤-,则≤ω<,

故≤ω<,

∴ω∈时, f(x)在[-1,1]恰有3个最低点.综上所述,ω∈.

故选C.

10.答案　

解析　将函数f(x)=cos(x+φ)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),

得到y=cos(2x+φ)的图象,

再把得到的图象向左平移个单位长度,

得到y=cos

=cos的图象.

∵所得函数图象关于原点对称,

∴+kπ(k∈Z),

∴φ=+kπ(k∈Z),

∵|φ|<,

∴φ=.

11.解析　(1)由题图知,最小正周期T=π,则ω==2.将y=Asin 2x的图象向左平移个单位长度,得f1(x)=Asin(2x+φ)的图象,所以φ=2×.将(0,1)代入f1(x)=Asin,得A=2,故f1(x)=2sin.

(2)依题意,得

f2(x)=2sin

=-2cos,

当2x+=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时, f2(x)max=2,此时自变量x的取值集合为.

(3)因为f1(α)=-2,

所以2sin=-2⇒sin=-1⇒2α+(k∈Z),

所以f1

=2sin

=2sin

=2sin(2kπ+π)=0.

12.解析　(1)由题图可知,函数的最小正周期T==2π,解得ω=1,

∵f(x)max=1, f(x)min=-1,

∴A=1,

∵f=-1,

∴+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z,

∵0<φ<,

∴φ=,

∴f(x)=sin.

(2)方程f(x)=a在上有两个不同的实数根等价于y=f(x)的图象与直线y=a在上有两个不同的交点.

函数f(x)=sin在上的图象如图所示.

当x=0时, f(x)=,当x=时, f(x)=0,

由图可以看出,当y=f(x)的图象与直线y=a有两个交点时,a∈(-1,0)∪.

(3)当0<a<1时,y=logax为减函数,

故求函数y=loga[f(x)-f2(x)]在0,上的单调递减区间即求函数y=f(x)-f2(x)的单调递增区间.

①当x∈时, f(x)单调递增,此时f(x)∈,

则y=f(x)-f2(x)在上单调递减,不符合题意;

②当x∈时, f(x)单调递减,

当x∈时, f(x)>;当x∈时, f(x)<,

则y=f(x)-f2(x)在上单调递增;

③当x∈时, f(x)单调递增,此时f(x)∈(-1,0),

则y=f(x)-f2(x)在上单调递减,不符合题意.

综上所述,y=loga[f(x)-f2(x)]在上的单调递减区间为.