高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质精品第1课时学案

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7.3.2 三角函数的图象与性质


第1课时 正弦、余弦函数的图象








网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”视频，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？








1．正弦曲线、余弦曲线


正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．





2．“五点法”画图


画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．


画余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．


3．正弦、余弦曲线的联系


依据诱导公式cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．


思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？


[提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )


(2)y＝sin x与y＝cs x的图象形状相同，只是位置不同．( )


(3)函数y＝cs x的图象与y轴只有一个交点．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)√


2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．


[答案] 0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π


3．不等式cs x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．


[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))





【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象．


(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；


(2)y＝2＋cs x，x∈[0,2π]；


(3)y＝－1－cs x，x∈[0,2π]．


[思路点拨] 先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．


[解] (1)列表如下：


描点连线，如图①所示：





①


(2)列表如下：


描点连线，如图②所示：





②


(3)列表如下：


描点连线，如图③所示：





③








用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acs x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下


(1)列表：


(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．


(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．


提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．





eq \([跟进训练])


1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cs x在一个周期内的图象．


[解] 按五个关键点列表、描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．








【例2】 利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)的x的集合．


[思路点拨] 作出正弦函数y＝sin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．


[解] 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，





作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)．观察图象可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)＜x≤eq \f(π,3)，或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)时，不等式eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)成立，


所以eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ＜x≤\f(π,3)))＋2kπ或\f(2π,3)＋2kπ≤x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))．








利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤


1画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cs x在[0，2π]上的图象；


2写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；


3把此解集推广到整个定义域上去.








eq \([跟进训练])


2．求下列函数的定义域：


(1)y＝eq \r(2sin x＋1)；(2)y＝eq \r(sin x－cs x)．


[解] (1)要使y＝eq \r(2sin x＋1)有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－eq \f(1,2)．


结合正弦曲线或三角函数线，


如图所示，知函数y＝eq \r(2sin x＋1)的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(7π,6)，k∈Z))))．





(2)要使函数有意义，必须满足sin x－cs x≥0．


在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．





在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ≤))x≤\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z))．





[探究问题]


1．你能借助图象的变换作出y＝|sin x|的图象吗？试画出其图象．


[提示] 先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的部分对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin x|的图象，如图．





2．方程|sin x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？


[提示] 当a＜0时，方程|sin x|＝a无解；


当a＝0时，方程|sin x|＝a有三解；


当0＜a＜1时，方程|sin x|＝a有四解；


当a＝1时，方程|sin x|＝a有两解；


当a＞1时，方程|sin x|＝a无解．


【例3】 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．


[思路点拨] eq \x(作图)―→eq \x(看图)―→eq \x(交点个数)


―→eq \x(sin x＝lg x解的个数)


[解] 建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．


描出点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，－1))，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．





由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．





1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．


2．常见的函数图象变换


(1)y＝f(x) 的图象向左(右)平移a个单位，得到函数y＝f(x＋a)[y＝f(x－a)]的图象；


(2)y＝f(x)的图象向上(下)平移b个单位，得到函数y＝f(x)＋b[y＝f(x)－b]的图象；


(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；


(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；


(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；


(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；


(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．








eq \([跟进训练])


3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．


[解] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin x，0≤x≤π，,－sin x，π＜x≤2π))的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3．











1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．


2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题


(1)正、余弦函数图象的画法．


(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．


(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．


3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定


y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，一个最低点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))；y＝cs x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．





1．用“五点法”作出函数y＝3－cs x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)


①(π，－1)；②(0,2)；③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))；④(π，4)；⑤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))．


①⑤ [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))，(π，4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，3))，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]


2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称．


x轴 [在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(图略)，可知它们关于x轴对称．]


3．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．


(0，π) [如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，





由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]


4．用“五点法”作出y＝eq \r(1－sin2x)(0≤x≤2π)的简图．


[解] y＝eq \r(1－sin2x)＝|cs x|(x∈[0,2π])．


列表：


描点作图，如图．





学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解正弦函数、余弦函数的图象．


2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)


3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
通过学习本节内容，培养学生的直观想象的核心素养．
利用“五点法”作简图
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
2＋cs x
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
－1－cs x
－2
－1
0
－1
－2
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x(或cs x)
y
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
3＋2cs x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
正、余弦函数图象的应用
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
|cs x|
1
0
1
0
1
eq \r(1－sin2x)
1
0
1
0
1