高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质学案，共11页。学案主要包含了周期函数的概念，求三角函数的周期，周期函数在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期．
导语
生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习．我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．
一、周期函数的概念
问题1 单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？
提示 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(x＋2π)＝sin x，cs(x＋2π)＝cs x，故正弦函数、余弦函数也具有周期性．同样，正切函数也具有类似性质，即tan(x＋π)＝tan x.
问题2 把这个性质推广到函数的一般形式，应如何描述呢？
提示 对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立，那么f(x)为周期函数．
知识梳理
1．函数的周期性
设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数．非零常数T叫作这个函数的周期．
2．最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
3．正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π.
函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为eq \f(π,ω).
注意点：
(1)关键词“任意的x”体现了对定义域中每一个值都得成立；
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期；
(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可；
(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期．
二、求三角函数的周期
例1 求下列函数的周期：
(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(2)f(x)＝|sin x|.
解 (1)方法一 (定义法)
∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,3)))＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
方法二 (公式法)
∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.
又T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.
∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
(2)利用周期函数的定义，
∵f(x)＝|sin x|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
反思感悟 求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)的函数，T＝eq \f(2π,ω).
跟踪训练1 (多选)下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2))) D．y＝2cs eq \f(1,2)x
答案 AD
解析 由周期公式知A，D中的函数周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.B中，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.
C中，∵y＝sin eq \f(x,2)的周期为T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，∴y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的周期为T＝2π.
三、周期函数在实际问题中的应用
例2 若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解 (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
反思感悟 根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题．
跟踪训练2 已知弹簧振子对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移．
解 (1)由图象可知，该函数的周期为4 s.
(2)设位移与时间的函数关系为x＝f(t)，
由T＝4，
所以f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm)．
故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.
1．知识清单：
(1)周期函数的概念．
(2)三角函数的周期．
(3)周期函数的实际应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：忽视定义域内x的任意性．
1．函数f(x)＝sin eq \f(x,3)的最小正周期为( )
A．6π B．3π C．2π D．π
答案 A
解析 T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π.
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
答案 D
解析 因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，
所以该函数是周期为2π的偶函数．
3．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )
A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝sin 2x
C．y＝cs eq \f(x,4) D．y＝cs(－4x)
答案 D
解析 y＝cs(－4x)＝cs 4x.
T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).
4．设k＞0，若函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,5)))的最小正周期为eq \f(2π,3)，则k＝________.
答案 3
解析 T＝eq \f(2π,k)＝eq \f(2π,3)，∴k＝3.
1．函数f(x)＝2cs eq \f(π,2)x，x∈R的最小正周期为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
答案 D
解析 由题意T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))与函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的最小正周期相同，则ω等于( )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
答案 A
解析 因为函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))与函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的最小正周期相同，
因此eq \f(π,|ω|)＝eq \f(2π,2)，
所以ω＝±1.
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示．则ω的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．π D．2π
答案 B
解析 由图可知eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(T,4)，
故eq \f(1,4)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,4)，故ω＝2.
5．函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3，则f(99)等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．－1
答案 A
解析 T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.
6．(多选)下列命题中不正确的有( )
A．存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数
B．存在实数T，使得对f(x)定义域内任意x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数
C．周期函数可能没有最小正周期
D．周期函数的周期是唯一的
答案 ABD
解析 由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故A，B不正确；如常数函数f(x)＝1，x∈R，显然是周期函数，但它没有最小正周期，故C正确；若T为函数的周期，则f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故D不正确．
7．已知函数y＝eq \f(1,2)sin eq \f(x＋π,A)(A>0)的最小正周期为3π，则函数y＝3cs[(2A－1)x－π]的最小正周期为________．
答案 π
解析 由题意知2π·A＝3π，
∴A＝eq \f(3,2)，∴2A－1＝2.
∴y＝3cs[(2A－1)x－π]＝3cs(2x－π)的最小正周期为T＝π.
8．若函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为______．
答案 6
解析 ∵T＝eq \f(2π,ω)，10，
则eq \f(π,2)<ω<2π.
∴正整数ω的最大值为6.
9．求下列函数的周期：
(1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，x∈R；
(2)f(x)＝1－2cs eq \f(π,2)x，x∈R.
解 (1)方法一 设f(x)的周期为T，
则2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋T＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)＋\f(T,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))对任意的x均成立．
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋\f(T,2)))＝2sin u，其中u＝eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6).
∵y＝2sin u的周期为2π，
∴eq \f(T,2)＝2π，∴T＝4π，
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的周期为4π.
方法二 ∵T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的周期为4π.
(2)f(x)＝1－2cs eq \f(π,2)x的周期为T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
10．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10 s时钟摆的高度．
解 (1)由图象可知，该函数的周期为1.5 s.
(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，
可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
∴t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
11．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x≤0，,sin x，0A．1 B.eq \f(\r(2),2)
C．0 D．－eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)×－3＋\f(3π,4)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).
12．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 因为T＝eq \f(2π,\f(k,4))＝eq \f(8π,k)≤2，所以k≥4π，
又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.
13．设f(x)是周期为2的奇函数，当0A．sin x＋x
B．sin(x－2)＋x－2
C．sin(x＋2)＋x＋2
D．sin(x＋2)＋x－2
答案 B
解析 当1则0<2－x<1，
因为当0所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
14．若f(x)＝sin eq \f(π,3)x，则f(－2)＝________；f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝______.
答案 －eq \f(\r(3),2) eq \r(3)
解析 由f(x)＝sin eq \f(π,3)x，
得f(－2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
函数f(x)＝sin eq \f(π,3)x的周期为eq \f(2π,\f(π,3))＝6.
∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin eq \f(π,3)＋sin eq \f(2π,3)＋sin π＋sin eq \f(4π,3)＋sin eq \f(5π,3)＋sin 2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)
＝337×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝337×0＋sin eq \f(π,3)＋sin eq \f(2π,3)＋sin π＝eq \r(3).
15．干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝sin eq \f(2x,3)＋cs 3x的最小正周期为( )
A．15π B．12π
C．6π D．4π
答案 C
解析 由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数60，故可得y＝sin eq \f(2x,3)的周期T1＝3π，y＝cs 3x的周期T2＝eq \f(2,3)π，T1，T2的最小公倍数为6π，故f(x)的最小正周期为6π.
16．设函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0且最小正周期为eq \f(π,2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(α,4)))＝eq \f(9,5)，求sin α的值．
解 (1)∵f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0且最小正周期为eq \f(π,2)，
∴eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)，即ω＝4，
∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
(2)∵f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(α,4)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝3cs α＝eq \f(9,5)，
∴cs α＝eq \f(3,5)，
∴sin α＝±eq \f(4,5).