高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质教案，共8页。


由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．
重点：正弦函数、余弦函数的图象．
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
1．函数y＝5sineq \f(2,5)x的最小正周期是________．
答案：5π
2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的最小正周期为________．
答案：eq \f(π,3)
3．函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的最小正周期为________．
解析：T＝eq \f(2π,|－2|)＝π.
答案：π
4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1，则下列命题正确的是________．
①f(x)是最小正周期为1的函数；
②f(x)是最小正周期为2的函数；
③f(x)是最小正周期为eq \f(1,2)的函数；
④f(x)是最小正周期为π的函数．
解析：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1＝－cs πx－1，
∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,π)＝2.
答案：②
知识点一 正弦函数、余弦函数的图象
思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？
答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，…，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图．
思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
答案 把y＝sin x，x∈R的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，即可得到y＝cs x，x∈R的图象．
梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
知识点二 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？
答案 列表、描点、连线．
思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？
答案
梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)；
画余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cs x(x∈[0,2π])的简图．
典型例题
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解 取值列表：
描点连线，如图所示．
总结 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cs x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1 (1)用“五点法”作出函数y＝1－cs x(0≤x≤2π)的简图．
解 列表如下：
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)(2017·长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))))的图象．
解 由于y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))))＝|cs x|，因此只需作出y＝|cs x|的图象即可，而y＝|cs x|可由y＝cs x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：
类型二 利用正、余弦函数图象解不等式
命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式
例2 利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)解 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6).
作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).
观察图象可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)所以eq \f(1,2)总结 用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
跟踪训练2 使不等式eq \r(2)－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
答案 C
解析 不等式可化为sin x≤eq \f(\r(2),2).
方法一 作图，正弦曲线及直线y＝eq \f(\r(2),2)如图所示．
由图知，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
方法二 如图所示，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
命题角度2 利用正、余弦函数图象求定义域
例3 求函数f(x)＝lg sin x＋eq \r(16－x2)的定义域．
解 由题意，得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,16－x2≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,－4≤x≤4，))
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
总结 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练3 求函数y＝eq \r(lg2\f(1,sin x)－1)的定义域．
解 为使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,sin x)－1≥0，,sin x>0，))
即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．课程目标
学科素养
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；
2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；
3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；
4.数学运算：五点作图；
5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.
画正弦函数图象的五点
(0,0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))
(π，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))
(2π，0)
画余弦函数图象的五点
(0,1)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
(π，－1)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))
(2π，1)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
cs x
1
0
－1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1－cs x
0
1
2
1
0