苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数第1课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数第1课时学案，共10页。学案主要包含了对数的运算性质，利用对数的运算性质化简，对数运算性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

4.2.2　对数的运算性质
第1课时　对数的运算性质
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用．

一、对数的运算性质
问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)?
提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N)．
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．
问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示　将指数式＝ap－q化为对数式，得
loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．
问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)．
知识梳理
对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立．
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
例1　求下列各式的值．
(1)ln e2；(2)log3e＋log3；(3)lg 50－lg 5.
解　(1)ln e2＝2ln e＝2.
(2)log3e＋log3＝log3＝log33＝1.
(3)lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
反思感悟　对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；
(4)log35－log315.
解　(1)方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(3)ln 3＋ln ＝ln＝ln 1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3
＝log33－1＝－1.

二、利用对数的运算性质化简、求值
例2　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
反思感悟　对数运算性质的综合应用解题思路
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
跟踪训练2　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)方法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二　原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg(·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.

三、对数运算性质的综合应用
例3　已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝________.
答案　b＋3a－1
解析　lg ＝lg 12－lg 5
＝lg(3×22)－(1－lg 2)
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2
＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.

反思感悟　对数运算性质的综合应用中的求值(或用代数式表示)问题思路
依据对数的运算性质，将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练3　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
解　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg
＝lg x＋lg y3－
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg(y2z)
＝－(lg y2＋lg z)
＝lg x－2lg y－lg z.

1．知识清单：
(1)对数的运算性质．
(2)利用对数的运算性质化简、求值．
(3)对数运算性质的运用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则．

1．(多选)若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的有(　　)
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C．(logax)n＝logaxn
D.＝loga
答案　BD
解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，a≠1)知BD正确．
2．2log510＋log50.25等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　C
解析　原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　　)
A．a－b2 B．a－2b
C. D.
答案　B
解析　∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b.
4.＝________.
答案　2
解析　原式＝＝＝2.



1．log242＋log243＋log244等于(　　)
A．1 B．2 C．24 D.
答案　A
解析　原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2．已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示为(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2
答案　A
解析　因为3a＝2，所以a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
3．计算lg 2－lg －eln 2等于(　　)
A．－1 B. C．3 D．－5
答案　A
解析　原式＝lg－2＝－1.
4．下列计算正确的是(　　)
A．(a3)2＝a9
B．log26－log23＝1
C．
D．log3(－4)2＝2log3(－4)
答案　B
解析　由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，＝a0＝1，
所以A，C不正确；
由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，所以B正确；
根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，
而log3(－4)无意义，所以D不正确．
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A．2 B. C．100 D.
答案　C
解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，
∴lg(ab)＝2，
∴ab＝100.
6．(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是(　　)
A．f(ab)＝f(a)＋f(b)
B．f(ab)＝f(a)f(b)
C．f ＝f(a)＋f(b)
D．f ＝f(a)－f(b)
答案　AD
解析　∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，
∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b
＝f(a)＋f(b)，
f ＝log5＝log5a－log5b＝f(a)－f(b)．
7．lg ＋lg 的值是________．
答案　1
解析　原式＝lg ＝lg 10＝1.
8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案　4
解析　因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)
＝lg(x－2y)2，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
9．已知lg 2＝m，lg 3＝n，试用m，n表示.
解　∵lg 2＝m，lg 3＝n，∴＝＝＝.
10．计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋；
(2)2log32－log3＋log38－.
解　(1)原式＝＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.



11．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝，即logx(abc)＝.
12．已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是(　　)
A．1 B．3 C. D.
答案　D
解析　由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2－x＝3＋＝.
13．已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，则f(log2128)＋f(log216)等于(　　)
A．6 B．0 C．－6 D．－12
答案　C
解析　因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，
故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)
＝f(－1)＝－6，
f(4)＝f(0)＝0，
所以f(log2128)＋f(log216)
＝f(log227)＋f(log224)
＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
14．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f ＝4，则f(2 023)＝________.
答案　0
解析　由f ＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 023－blog32 023＝2.
∴alog22 023＋blog32 023＝－2，
∴f(2 023)＝alog22 023＋blog32 023＋2＝－2＋2＝0.



15．设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2－2x＋log2(c2－b2)－2log2a＋1＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是______．
答案　直角三角形
解析　由题意得
Δ＝4－4log2(c2－b2)＋8log2a－4＝0，
∴2log2a＝log2(c2－b2)．
∴a2＝c2－b2，故有a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
16．已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值．
解　(1)lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3
＝3a＋2b；
lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a.
(2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2
＝lg 2＋lg 3＋lg ＝lg ，
所以x＝＝0.06.