高中数学选择性必修二 第五章测评-练习

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第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=(　　)
A.2 B.-1 C.1 D.-2
解析limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx
=limΔx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.故选A.
答案A
2.(2020湖南高二期末)一质点做直线运动,经过t秒后的位移为s=13t3-52t2+4t,则速度为零的时刻是(　　)
A.1秒末 B.4秒末
C.1秒末或4秒末 D.0秒或4秒末
解析因为s=13t3-52t2+4t,所以s'=t2-5t+4,
令t2-5t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末,故选C.
答案C
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(2,8)
C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)
解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C.
答案C
4.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.无数个
解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,∵x>0,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-200恒成立.故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
答案A
5.函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t0,即在x轴最左侧函数f(x)为增函数,排除D;故选B.
答案B
6.若函数f(x)=asin x+cos x在-π3,π4为增函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞)
B.(-∞,-3]
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析依题意,f'(x)=acos x-sin x≥0在区间-π3,π4上恒成立,即acos x≥sin x.
当x∈-π3,π4时,cos x>0,
故a≥sinxcosx=tan x,y=tan x在x∈-π3,π4时为递增函数,
其最大值为tanπ4=1,故a≥1.所以选A.
答案A
7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)f(-1);④2f(1)>f12中,正确的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析令h(x)=xf(x)-x,
所以h'(x)=xf'(x)+f(x)-1,
因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
所以h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函数,
因为h(-1)=-f(-1)+11>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h12=12f12-12,
所以2f(1)>f12+1>f12,故④正确.故选B.
答案B
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,e] B.(0,e)
C.0,1e D.0,1e
解析因为f'(x)=1+1x,故f(x)=x+ln x+C,其中C为常数.
因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+ln x+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为
x+ln x+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)有解.
令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上为增函数;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)0,ex(x+1),x≤0,若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值可能是(　　)
A.0 B.12 C.1 D.2
解析由题意,函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则g(x)=f(x)-b=0,
即f(x)=b有三个根,
当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),
由f'(x)0;当00,当x∈(6,+∞)时,y'0),f'(x)=-1x-12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(因x2=-13不在定义域内,舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)1时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)内为增函数,
∴f(x)>f(1)=0,得证.
(2)解设h(x)=lnxx-a(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=1-lnxx2-a=1-lnx-ax2x2,
当a≥1时,1-ax20,
∴h'(x)