人教版八年级数学（上）第十一章 三角形 11.2与三角形有关的角 试卷

第十一章  三角形

11.2  与三角形有关的角

11.2.1  三角形的内角

一、三角形的内角

1．三角形三个内角的和等于180°

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

注意：（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．

（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．

二、直角三角形的性质

1．直角三角形的两个锐角互余．

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．

2．有两个角互余的三角形是直角三角形．

注意：在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）

     ①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

     ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：3，求∠A、∠B、∠C的度数．

三、三角形的外角

1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形的外角和等于360°，如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．

2．性质：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．

③三角形的一个外角与之相邻的内角互补

注意：（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．

（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．

3．外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．

11.2与三角形有关的角

基础巩固

1．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝80°，则∠A的度数为(     )

A．30°        B．40°     C．50°        D．60°

2．若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（    ）

A．锐角三角形   B．钝角三角形   C．直角三角形   D．任意三角形

3．在三角形的三个内角中：①最少有两个锐角；②最多有一个直角；③最多有一个钝角．上述说法正确的有(     )

A．0个        B．1个      C．2个        D．3个

4．如图，已知a∥b，∠1=110°，∠2=90°，则∠3的度数是(     )

A．130°     B．140°      C．150°       D．160°

5．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为(     )

A．100°     B．120°      C．140°       D．160°

6．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则(     )

A．必有一个内角等于30°      B．必有一个内角等于45°

C．必有一个内角等于60°      D．必有一个内角等于90°

7．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是(     )

A．150°     B．135°      C．120°       D．100°

8．将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为(     )

A．115°      B．125°      C．135°       D．145°

9．如图所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为(     )

A．40°       B．55°      C．60°       D．35°

10．如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝110°，则∠2的度数是______．

11．已知：如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．

12．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．

13．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，那么∠C＝__________.

14．已知BD，CE是△ABC的高，直线BD，CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC＝__________.

15．把一副三角板按如图所示的方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝__________.

能力提升

1．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为(     )

A．65°，90°，75°                 B．48°，72°，60°

C．48°，32°，58°                 D．40°，50°，90°

2．如图，在△ACB中，∠ACB=85°，∠A=25°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于(     )

A．20°      B．25°       C．30°        D．45°

3．如图，AB∥CD，图中∠α，∠β，∠γ三角之间的关系是(     )

A．∠α+∠β+∠γ=180°           B．∠α-∠β+∠γ=180°

C．∠α+∠β-∠γ=180°            D．∠α+∠β+∠γ=360°

4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=30°，∠C=65°，则∠BDC的度数为(     )

A．95°        B．80°        C．85°        D．100°

5． 如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= (      )

A．65°        B．75°        C．85°        D．95°

6． 如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=(     )

A．75°        B．80°       C．85°     D．90°

7．如图，已知AB∥CD，则(     )

A．∠1＝∠2＋∠3              B．∠1＝2∠2＋∠3

C．∠1＝2∠2－∠3             D．∠1＝180°－∠2－∠3

8．     将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(     )

 A．55°        B．60°        C．75°        D．85°

9．     如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，

若∠2=44°，则∠1 的大小为(     )

A．14°       B．16°      C．90°﹣α     D．α﹣44°

10．如图，把一张长方形的纸按如图所示那样折叠，B、C两点分别落在B′，C′点处，若∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为(      )

A．50°         B．55°        C．60°      D．65°

12.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A'的位置，则∠A'、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是(      )

A．∠1=∠2 + ∠A'              B． ∠1=2∠A'  + ∠2    

C． ∠1=2∠2 + 2∠A'            D． 2∠1=∠2 + ∠A' 

13．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE=62°，则∠A=__________°．

14．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=38°，∠A=64°，则∠BFC=___________．

15．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=75°，∠CAE=26°，则∠C的度数是___________．

拓展提高

1．在如图所示的五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的和．

2.如图，AD是BC上的高,AE平分∠BAC,∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE的度数．

3.已知：AB∥CD，EG平分∠BEF,FG平分∠EFD．请你说明EG⊥FG．

4.如图，△ABC中，BO,CO平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．

    (2) 若∠A=110°，求∠BOC的度数．

5．如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=58°，∠BED=72°．求∠ABC和∠BAC的度数．

6．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别是、，检验工人量得，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？

7．如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

8．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．

（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；

（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．

9．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠ABD=32°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．

10．在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D。

⑴.若∠ABC=60°，∠ACB=40°,求∠A和∠D的度数。

⑵.由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明。
 

11．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与

∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：

（1）求∠A1的度数；

（2）∠An的度数．

12．问题引入：

（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）; 如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）.

拓展研究：

（2）如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝____________（用α表示），并说明理由.

（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝____________ .