高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念课堂检测

1.1  集合的概念(精练)

【题组一 集合的概念】

1．(2021·河北)考察下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)

①某高中高一年级聪明的学生      ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点

③不小于3的正整数            ④的近似值．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C.

2.(2021年河南)下列对象能组成集合的是(　　)

A.的所有近似值

B．某个班级中学习好的所有同学

C．2020年全国高考数学试卷中所有难题

D．屠呦呦实验室的全体工作人员

【答案】　D

【解析】　D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．

3．(2021·全国高一课时练习)下列描述正确的有(    )

(1)很小的实数可以构成集合；

(2)集合与集合是同一个集合；

(3)这些数组成的集合有5个元素；

(4)偶数集可以表示为.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】对于(1)，很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；

对于(2)，集合中的元素为实数；

集合中的元素为点的坐标，

集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；

对于(3)，这些数组成的集合中，

由于，，由集合元素的互异性，

集合中的元素不是5个，故不正确；

对于(4)，偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；

故选：B

4．(2020·上海)若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是 (    )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【解析】因为集合，所以由集合元素的互异性可得，，，

所以△一定不是等腰三角形.故选：D.

5.下列说法中，正确的有________．(填序号)

①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；

②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；

③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．

【答案】　②

【解析】①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.

②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．

③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．

【题组二 元素与集合的关系】

1.(2021湖南)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)

A．a∈M   B．a∉M

C．a＝M   D．a≠M

【答案】B

【解析】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a∉M.

2．(2021云南)已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　)

A．3∈A且－3∉A   B．3∈A且－3∈A

C．3∉A且－3∉A   D．3∉A且－3∈A

【答案】D

【解析】　∵3－1＝2>，∴3∉A.又－3－1＝－4<，∴－3∈A.

3．(2021·江苏高一)设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是(    )

A． B．，则，

C． D．，，则

【答案】B

【解析】A.，所以，正确；

B.若，则，或或或，故B不正确；

C.，所以，故C正确；

D.，，，则，故，故D正确.

故选：B

4．(2021·吉林长春市)已知集合M=且，则M等于(    )

A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}

【答案】D

【解析】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6，

即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}，故选：D.

5．(多选)(2021·浙江高一期末)若集合，则(    )

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确；

对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确；

对于选项C：由，可得，，

若则可得， ，不成立；

若则可得， ，不成立；

若，可得，此时， ，不成立；

同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确；

对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确，

故选：ABD.

6．(2021·上海市实验学校高一期末)集合且，用列举法表示集合________

【答案】

【解析】由题意，集合且，可得，则，

解得且，

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

当时，，不满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，此时分母为零，不满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

当时，，不满足题意；

当时，，满足题意；

综上可得，集合.

故答案为：.

【题组三  集合的表示方法】

1．(2021·山东省淄博)集合，用列举法可以表示为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为且，所以的可取值有：，

所以列举法表示集合为：，故选：B.

2．(2021·浙江高一期末)方程组的解构成的集合是( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵∴ ∴方程组的解构成的集合是{(1，1)}故选C．

3．(2021·全国高一课时练习)用列举法表示下列集合：

(1)大于1且小于6的整数；

(2)；

(3)．

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】用列举法表示下列集合

(1)大于1且小于6的整数，；

(2)；所以

(3)，

由解得，，故表示为，

4．(2021·全国高一单元测试)已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．

(1)试用列举法表示集合且；

(2)试用列举法表示集合且．

【答案】(1) ；(2).

【解析】由题意，，.

(1).

(2).且

5．(2021·全国高一课时练习)把下列集合用另一种方法表示出来：

(1)；

(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数；

(3)；

(4)中国古代四大发明

【答案】(1){且}

(2)

(3)

(4){造纸术，印刷术，指南针，火药}

【解析】(1){且}.

(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数：

.

(3).

(4)中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}

6．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：

(1)由方程的所有实数根组成的集合；

(2)一次函数与图象的交点组成的集合；

(3)不等式的解集.

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)，则该方程所有实数根组成的集合为；

(2)由解得：，则图象的交点组成的集合为；

(3)不等式可化为，则该集合为

7．(2021·河北)用适当的方法表示下列集合：

(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；

(2)方程的解集.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为.

(2)由，得所以所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为.

8．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：

(1)所有能被3整除的整数；

(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合；

(3)满足方程，的所有x的值构成的集合B.

【答案】(1).(2).(3).

【解析】(1)由题意所有能被3整除的整数为：，所以集合表示为；

(2)由图象可知，对于第一象限的阴影部分可得：，则对应的点(含边界)为；对于第三象限的阴影部分可得：，则对应的点(含边界)为，所以综上可得，满足图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为：.

(3)由集合描述法可将满足方程，的所有x的值构成的集合B表示为.

【题组四 元素的个数】

1．(2021·山东)已知集合，则中元素的个数为(    )

A．1 B．5 C．6 D．无数个

【答案】C

【解析】由题得，所以A中元素的个数为6.故选：C

2．(2021·全国高一课时练习)若集合，则A中的元素个数为(    )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】由得，解得，又，所以，所以中有4个元素．故选：B．

3．(2021·全国高一课时练习)集合中含有的元素个数为

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B

4．(2021·青海)已知集合,则中所含元素的个数为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选

5．(2021·广西)设集合，，，则M中元素的个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】由题意知，，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，选B.

6．(2020·全国高一单元测试)设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】∵AB={a+b|a∈A，b∈B}，又A={1，2，3}，B={4，5，6}∴AB={5，6，7，8，9}故AB的元素个数为5个故选：B

7．(2021·福建)已知集合，则中元素的个数为(    )

A．4 B．9 C．8 D．6

【答案】A

【解析】因为，，，

当时，，；

当时，，，所以共有4个元素，故选：A.

8．(2021·上海)已知集合，，则集合中所有元素之和是(    )

A．10 B．13 C．14 D．15

【答案】A

【解析】集合，

，

集合中所有元素之和为．故选：A．

【题组五 已知元素的特征求参数】

1．(2021·天津静海一中高一期末)已知集合，且，则实数的值为 (　　)

A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3

【答案】A

【解析】由题意，知，可得

(1)当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；

(2)当，解得或，

①当是不满足元素的互异性，舍去，

②当时，此时集合，符合题意.

故选A.

2．(2021·安徽芜湖市)已知，则实数a的值为(    )

A．1或 B．1 C． D．或0

【答案】C

【解析】

当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；

当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.

故选：C

3．(2020·全国高三专题练习)已知，若，则实数构成的集合的元素个数是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】①，∴，，则，不可以，

②，∴，，则，可以，

或，∴，，则，不可以，

③，，，则，不可以，

或，∴，，则，不可以，

∴，故选：B．

4．(2020·浙江)已知集合，集合A中至少有3个元素，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】且集合A中至少有3个元素，.故选：C.

5．(2021·宜丰县)已知集合,若且则为__________.

【答案】

【解析】由，可得．故为，故答案为：．

6．(2021·西安市)已知，则x的值为__________．

【答案】0或2

【解析】因为，

所以当时，集合为 不成立；

当 时，集合为 ，成立；

当 时，解得 (舍去)或，

若，则集合为，成立.

所以x的值为0或2

故答案为：0或2

7．(2021·云南丽江市)若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.

【答案】0或1

【解析】当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；

当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,

故答案为：0或1.

8．(2021·河北安平中学)已知集合，，其中，我们把集合记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是___.

【答案】

【解析】∵，，

∴集合中的元素分别是，

∵最大元素是，∴，∴，故答案为：．

9．(2021·深圳市)设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为______．

【答案】

【解析】∵，，且，中有唯一的公共元素9，

∴或．

当时，，此时，，，中还有公共元素，不符合题意；

当时，，若，，集合违背互异性．

若，

∴．

故答案为：．

10．(2021·全国高一课时练习)由，，4所组成的集合记为A.

(1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；

(2)若A中只含有两个元素，求a的值.

【答案】(1)存在，(2)或

【解析】(1)存在，理由如下：由题意知若A中只含有一个元素，则这三个数相等，即，

由解得.

此时，所以符合条件.

故当时，A中只有一个元素.

(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有，或，或

若，解得；

若，解得；

若，无解；

综上可得，当或时，集合A中只含有两个元素.

11．(2021·浙江台州市)设数集由实数构成，且满足：若(且)，则．

(1)若，则中至少还有几个元素？

(2)集合是否为双元素集合？请说明理由．

(3)若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．

【答案】(1)中至少还有两个元素；(2)不是双元素集合，答案见解析；(3)．

【解析】(1)，．

，．

，．

中至少还有两个元素为，；

(2)不是双元素集合．理由如下：

，，，

由于且，，则，

则，可得，由，即，可得，

故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．

(3)由(2)知中有三个元素为、、(且)，

且，

设中有一个元素为，则，，且，

所以，，且集合中所有元素之积为.

由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，

设或，解得(舍去)或或．

此时，，，，

由题意得，整理得，

即，解得或或，

所以，．