初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转优秀当堂达标检测题

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专题23.1 图形的旋转
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·江苏省初一期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选D．
2．（2020·吉林省初三三模）如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ ）

A．45 B．90 C．135 D．180
【答案】A
【解析】360°÷8=45°．
故选A．
3．（2020·河北省初一期末）如图，将就点C按逆时针方向旋转75°后得到，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（ ）

A．50° B．40° C．25° D．60°
【答案】A
【解析】由旋转的定义得：


故选：A．
4．（2020·山东省初二期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到△COD，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意及旋转变换的性质得：
=，
∵，
∴=+=.
故选B.
5．（2020·河北省初三期末）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上的点处，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，
∴AB'=AB，∠BAB'=50°，
∴，
故选：D．
6．（2020·重庆初三期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=.
故选B.
7．（2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )

A．70° B．80° C．84° D．86°
【答案】B
【解析】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.
∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，
∴∠B＝∠BB1A＝40°.
∴∠AB1C1＝40°.
∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.
故选：B.
8．（2020·广西壮族自治区初三三模）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵将△BCO绕点C按顺时针旋转得到△ACD，
∴BO=AD，故A正确，
∵OC与CD是对应边，C为旋转中心，
∴∠DOC等于旋转角，即∠DOC=60°，故B正确，
∵OC=CD，∠DOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠BOC与∠ADC是对应角，
∴∠ADC=150°，
∴∠ODA=150°-60°=90°，即OD⊥AD，故C正确，
∵∠ADC=150°，
∴∠DAC<30°，
∴∠BAD<90°，
∴∠ODA+∠BAD≠180°，
∴OD与AB不平行，故D错误，
故选D.
9．（2020·江苏省中考真题）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，

得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
10．（2019·河北省初二期末）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（7，5） B．（﹣2，0） C．（5，7） D．（3，5）
【答案】A
【解析】
∵D（5，3）在边AB上，
∴OA＝5，AD＝3，
∴BD＝2．
∴以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，转后点D的对应点D′的坐标是（7，5）．
故选：A．
11．（2020·内蒙古自治区初三期末）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选C．
12．（2020·河南省初三学业考试）如图，矩形ABCD中，A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为（ ）

A． B． C．（1，2） D．
【答案】D
【解析】∵矩形ABCD中，A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝2，
∵将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上
∴AE＝AB＝4
∴DE2
∴点E坐标为（22，2）
故选：D．
13．（2020·江西省初三二模）如图，△ABC的顶点在网格中，现将△ABC绕格点O顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（　　）

A．1个 B．3个 C．6个 D．8个
【答案】B
【解析】观察图象可知，满足条件的α的值为90°或180°或270°，

故选B．
14．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤ ；始终正确的有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】∵，，点是的中点
∴，，
∴
∵
∴
∴，故②正确
∴()
∴，故①正确
∴是等腰直角三角形，故③正确
∵根据等腰直角三角形的性质，
∴随着点的变化而变化，只有当点为的中点时，，在其他位置时，故④错误
∵
∴
∴，故⑤正确
综合所述，正确的结论有①②③⑤共4个
故选C
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·湖南省初一期末）如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转到三角形的位置.已知，则____________度.

【答案】55
【解析】
解：∵三角形ABC绕点A逆时针旋转到三角形的位置.
∴∠BAB’=90°，
∵，
∴∠BAB’-=90°-35°=55°.
故答案为55.
16．（2020·江阴市长寿中学初二月考）如图，在□ABCD中，∠A＝70° ，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到□A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝___________°．

【答案】40
【解析】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC=BC1，
∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=70°，
∴∠BCD=∠C1=70°，
∴∠BCC1=∠C1，
∴∠CBC1=180°-2×70°=40°，
∴∠ABA1=40°，
故答案为：40°．
17．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则项点A的对应点A2020的坐标是_______．

【答案】（1，2）
【解析】解：将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；此时，点A1的坐标为（2，-1）；
再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；此时，点A2的坐标为（-1，2）；
再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；此时，点A3的坐标为（-2，1）；
再将△OA3B3绕点O顺时针旋转90°得△OA4B4；此时，点A4的坐标为（1，2）；
∴每旋转4次一个循环，
…依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同，为（1，2）；
故答案为：（1，2）．
18．（2020·内蒙古自治区初三三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是___．

【答案】6.
【解析】如图，连接PC，
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝8，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，
∴A′P＝PB′，
∴
∵CM＝BM＝2，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，
∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·陕西省初二期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求的度数．

【答案】
【解析】解：∵将绕点A逆时针旋转150°，得到，
．
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
是顶角为150°的等腰三角形，
，
，
．
20．（2020·渠县崇德实验学校初二期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．

（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是　 　．
【答案】（1）详见解析，点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0）；（2）详见解析；（3）等腰直角三角形．
【解析】解：（1）如图，将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则△A1B1C1即为所作；点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0）
（2）如图，每个点都绕原点顺时针旋转90°，则△A2B2C2即为所作．

（3）∵C1B12＝5，C1B22＝5，B1B22＝10，
∴C1B12+C1B22＝B1B22，C1B1＝C1B2，
∴以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形．
21．（2020·溧阳市南渡初级中学初三二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(1，0)，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转，
（1）若＝75°，如果点C的对应点E恰好落在轴的正半轴上，求AB的长；
（2）若旋转°后，有DE∥AC，且点B的对应点D也恰好落在轴的正半轴上，求DC的长．

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意得：，
，
，
，
，
，
．
（2）当时， ，
且点B的对应点D也恰好落在y轴的正半轴上时，
OA=OD=1，AB=CB=，
∴D（0，1），C（1+，），
∴．

22．（2020·广东省初二期中）如图所示，点是平面直角坐标系的原点，点在轴上，等边三角形的边长为
（1）写出的顶点的坐标： ．
（2）将沿轴向右平移得到，则平移的距离是 ；将绕原点按顺时针方向旋转得到，则旋转角至少是 度．
（3）连接，交于点，求的度数．

【答案】（1）；（2）2；120°；（3）90°．
【解析】解：（1）如图所示，过C作CHAO于H，则HO=AO=1，

∴COH中，，
∴点C的坐标为．
（2）由平移可得，平移的距离=AO=2；
且∵OBD是AOC平移得到，∴OBD也是等边三角形，故∠COD=60°，
由旋转可得，旋转角=∠AOD=120°．
（3）如图所示，连接AD，交CO于点E，

∵ACOD，两直线平行，内错角相等，∴∠CAE=∠ODE，∠ACE=∠DOE，
又∵OBD是AOC平移得到，∴AC=DO，
在ACE和DOE中，

∴ACE≌DOE（ASA），
∴CE=OE，∴AE是等边三角形CO边上的中线，
又∵等腰三角形“三线合一”∴ADCO，
即∠AEO=90°．
23．（2020·福建省初三其他）如图，均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边．图中可以看成由哪个三角形通过怎样的旋转得到的？证明这两个三角形全等．

【答案】图中的△ACE可以看成由△ABD绕着点A逆时针旋转42°得到的，证明见解析
【解析】解：图中的△ACE可以看成由△ABD绕着点A逆时针旋转42°得到的，
证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为42°的等腰三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝42°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）．
24．（2020·北京初二期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的任意一点，连接AE，过点B做BH⊥AE，垂足为H，交CD于点P，将线段PC绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，连接EQ．
（1）补全图形；
（2）写出AE与EQ的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）详见解析；（2）AE=EQ，理由详见解析
【解析】解：（1）如图；

（2）AE=EQ．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BH⊥AE
∴∠AHB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△BCP中

∴△ABE≌△BCP（ASA），
∴BE=CP，AE=BP，
∵CP绕点P逆时针旋转90°得到PQ，
∴∠CPQ=90°，CP=PQ
∴PQ∥BC，PQ=BE，
∴四边形BEQP是平行四边形，
∴BP=EQ
∴AE=EQ．
25．（2020·内蒙古自治区初三月考）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为BC的等腰三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，．
（1）在旋转过程中
①当三点为在同一直线上时，求的长．
②当三点为同一直角三角形的顶点时，求的长；
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90度，点D的位置由外的点旋转到其内的点处，连接，如图2，此时，，求的长．

【答案】（1）①4或2，②或；（2）
【解析】解：（1）①当点M在线段AD内部时，；
当点M在线段AD外部时；
②为直角时，；
为直角时，；
， 不可能是直角．
（2）如图，连，

，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
26．（2020·江苏省初二期末）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4 ，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转，得到矩形BEFG.
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于 ；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE 2+AG 2的值；
（4）在旋转过程中，请直接写出的最大值．

【答案】（1）2；（2）；（3）垂直，理由见解析；；（4）12．
【解析】（1）解：当落在上时，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴每个内角都等于90°，
∵，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知：，
∴，
故答案为：2；

（2）解：当点E落在AC上时，过点B作BM⊥AC于点M，
在中，由勾股定理得：
,
∵是直角三角形，BM⊥AC，
∴,
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴；

（3）线段AE与CG的位置关系是垂直，理由如下：
证明：连接AC、EG，设AE与CG相交于点N，AE与BC相交于点P，
由旋转的性质知：，，
∴在等腰和等腰中得到：，，
∴，
∵，
∴，
即；
∵，
∴，
由矩形的性质可以得到：，
∴；

（4）过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，
∴，，
∵
∴，
∴当最大时，最大，
在旋转过程中，，
∴，
∴当点三点共线时，，此时最大，
∴的最大值为：．