湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列教学演示ppt课件

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第1章 数 列
第二课时　等比数列前n项和性质及应用
课标要求
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
素养要求
通过利用等比数列的前n项和公式的性质解决相关问题，发展学生的数学抽象、数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.等比数列的前n项和公式的函数特征
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1与n成正比.
2.等比数列前n项和的性质
1.思考辨析，判断正误(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( )(2)若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )(3)若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( )(4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列.( )
√
(5)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.( )
√
√
×
√
D
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　)
B
3.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　) A.31 B.33 C.35 D.37
解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________.
12
解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.
训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝4n－1＋t，则t＝________.
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解　法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
法二　由S2n≠2Sn，得公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
训练2 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A.32 B.64 C.72 D.216 解析　由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
B
例3 (1)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则该等比数列的通项公式为____________________________.
解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________.
2
9
解析　由性质S奇＝a1＋qS偶，可知341＝1＋170q，所以q＝2，
训练3 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 解　法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋).
故公比为2，项数为8.
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
课堂小结
3.对于有些数列问题，必须充分挖掘题目中的隐含条件(如n的奇偶性等)，若忽略这些隐含条件，将导致多解或漏解.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
1.在等比数列{an}中，若a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6等于(　　)A.80 B.90 C.95 D.100
B
2.等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)
C
C
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
C
5.在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　) A.90 B.70 C.40 D.30
C
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
6.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
2
解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，
80
8.设正项等比数列{an}，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
解析　由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
9.(1)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20. (2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.解　(1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250.
证明　法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
法二　根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
解析　由题意知等比数列{an}的公比q≠－1，故根据等比数列的性质，知S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列.
C
二、能力提升
∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.
13.已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和. (1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
解　由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3).当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列.
证明　若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列.若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列.
14.已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝________，使得Sn<1 000成立的n的最大值为________.
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三、创新拓展
35
解析　数列{an}的前n项依次为1，2，3，22，5，7，23，….利用列举法可得，当n＝35时，P∪Q的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a29＝47.
因为26＝64>61，所以S36＝S35＋61＝1 023>1 000，所以n的最大值为35.