数学湘教版（2019）1.3 等比数列图文ppt课件

这是一份数学湘教版（2019）1.3 等比数列图文ppt课件，文件包含第一课时等比数列前n项和公式pptx、第一课时等比数列前n项和公式DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共44页， 欢迎下载使用。

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.等比数列的前n项和公式
2.错位相减法在等比数列前n项和公式的推导中，我们使用的方法称为错位相减法.主要解决的题型是：若{bn}是公差为d(d≠0)的等差数列，{cn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn.
1.思考辨析，判断正误
提示　当q＝1时，Sn＝na1.
(2)等比数列的前n项和不可以为0.( )提示　可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.(3)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列.( )
(4)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.( )
2.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　　)
4.等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则{an}的前5项的和是________.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
解　设等比数列{an}的公比为q，
训练1 已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值.解　当q＝1时，由5S2＝4S4知10a1＝16a1 ，则a1＝0，不合题意，故q≠1.当q≠1时，由5S2＝4S4知
例3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
训练2 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0.
故an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.
例4 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
则依题意S7＝381，公比q＝2.
训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　　)A.4－2100 B.4＋2100C.4－2－98 D.4－2－100
＝4(1－2－100)＝4－2－98.
2.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)
3.在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　)A.4 B.5 C.6 D.7
由an＝a1qn－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5.
4.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝(　　)
解析　由a1a2a3＝1得a2＝1，
∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0.∵an>0，∴an＋1＝3an.又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
又∵q>1，∴q＝2，故a1＝1，所以an＝2n－1，
9.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.
解　设数列{an}的公比为q(q≠0).
解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去.故公比q＝3，首项a1＝1.
10.小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)解　法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
故小华每期付款金额约为883.5元.法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
故小华每期付款金额约为883.5元.
11.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)A.33 B.72 C.84 D.189解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，求Sn.解　∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②，得
＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？解　因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn＝lg4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解　由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝lg4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)