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    数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法课文ppt课件

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    这是一份数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法课文ppt课件,文件包含14数学归纳法pptx、14数学归纳法DOCX等2份课件配套教学资源,其中PPT共47页, 欢迎下载使用。


    第1章 数 列
    *1.4 数学归纳法
    课标要求
    1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
    素养要求
    通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题,发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
    课前预习教材必备知识探究
    内容索引
    课堂研析题型关键能力提升
    课后分层精练核心素养达成
    KEQIANYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU
    课前预习教材 必备知识探究
    1
    1.数学归纳法的定义 在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤: (1)证明_________________时命题成立; (2)假设____________________时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以知道对任何从______开始的正整数n,命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
    n=n0(n0∈N+)
    n=k(k∈N+,k≥n0)
    n0
    2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下: 条件:(1)P(n0)为真;(2)若_______为真,则_________也为真,结论:P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立,即命题_______为真; (2)第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:________ ________________________. 只要将两步交替使用,就有P(n0)为真,P(n0+1)真,……P(k)真,P(k+1)真…….从而完成证明.
    P(k)
    P(k+1)
    P(n0)
    若P(k)为真,则P(k+1)也为真
    ×
    1.思考辨析,判断正误 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) 提示 也可用其他方法证明. (2)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.( ) 提示 数学归纳法的两个步骤缺一不可. (3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数不一定增加了一项.( )
    ×

    C
    解析 边数最少的凸n边形是三角形,故选C.
    B
    未用归纳假设
    解析 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.
    KETANGYANXITIXING GUANJIANNENGLITISHENG
    课堂研析题型 关键能力提升
    2
    所以左边=右边,等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,
    那么当n=k+1时,1×22+2×32+3×42+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
    即当n=k+1时,等式也成立,综上,对任何n∈N+,等式都成立.
    训练1 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+). 证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3. 则当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k =2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)知,等式对任何n∈N+都成立.
    综上,原不等式成立.
    即当n=k+1时,不等式成立.由(1)和(2)可知,不等式对所有的n∈N+都成立.
    例3 将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)……,分别计算各组包含的正整数的和如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;
    解 S7=22+23+24+25+26+27+28=175.
    (2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.
    解 S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+…+S2n-1=n4.证明如下:记Mn=S1+S3+…+S2n-1.①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.则当n=k+1时,
    从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以当n=k+1时猜想也成立.由①②,可知对任意n∈N+,猜想都成立.
    (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
    ①当n=1时,结论成立;
    ∴当n=k+1时结论成立.
    课堂小结
    1.掌握“归纳—猜想—证明”的思想方法2.利用数学归纳法的注意点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1;(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时,式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
    KEHOUFENCENGJINGLIANHEXINSUYANGDACHENG
    课后分层精练 核心素养达成
    3
    解析 因为题目要求是对n为正偶数,等式成立.
    C
    D
    3.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)等于(  ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析 增加一个顶点,就增加(n+1-3)条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,对f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故选C.
    C
    4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于(  )
    B
    D
    故选D.
    7.用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于________.
    6
    解析 由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6.
    即n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立.
    则当n=k+1时,
    所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.
    11.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
    A
    二、能力提升
    解析 假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.
    12.(多选)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N+),若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(  )A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立
    AD
    解析 由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.
    (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
    下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.
    三、创新拓展
    (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
    解 猜想:an=n.证明:①当n=1时,由(1)可知结论成立.②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=k成立. 则当n=k+1时,
    又an>0,∴ak+1=k+1成立.由①②可知,结论对任意n∈N+都成立.
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