【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练27　椭圆定义的应用

限时小练27　椭圆定义的应用

1.F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是(　　)

A.9－   B.6－

C.3＋   D.6＋

答案　B

解析　如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2.

∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF1|＝6－|PF2|，

∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|

＝6＋(|PA|－|PF2|).

根据三角形两边之差小于第三边，当点P位于P′时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.

2.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.

答案　48

解析　依题意知，a＝7，b＝2，

c＝＝5，|F1F2|＝2c＝10.

由于PF1⊥PF2，

所以由勾股定理得

|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2＝100.

又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，

∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.

解得|PF1|·|PF2|＝48.

3.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.

解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示，

因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.

因为EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD，

故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.

所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A(－1，0)，B(1，0).

|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，

所以a2＝4，b2＝3，

所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0).