【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练27　椭圆定义的应用

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限时小练27　椭圆定义的应用1.F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是(　　)A.9－   B.6－C.3＋   D.6＋答案　B解析　如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6－|PF2|，∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|＝6＋(|PA|－|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边，当点P位于P′时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.2.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.答案　48解析　依题意知，a＝7，b＝2，c＝＝5，|F1F2|＝2c＝10.由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.解得|PF1|·|PF2|＝48.3.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示，因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0).|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，所以a2＝4，b2＝3，所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0).