限时小练27　直线与椭圆的位置关系

1.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)

A.   B.－

C.±   D.±

答案　C

解析　联立方程

可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，

Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，

解得k＝±.

2.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)

A.x＋2y－3＝0   B.2x＋y－3＝0

C.x－2y＋3＝0   D.2x－y＋3＝0

答案　A

解析　由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1，1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.

由消去y，

得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，所以＝×＝1，

解得k＝－，

所以所求直线方程为y＝－x＋，

即x＋2y－3＝0.

3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x－4y＋5＝0相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过原点的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点.若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

(1)解　由题意可得c＝1，即a2－b2＝1，

由直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，可得b＝＝1，解得a＝，

即椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线y＝kx＋m(m≠0)代入椭圆x2＋2y2＝2，

可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

即有Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，

x1＋x2＝－，x1x2＝，

由k1＋k2＝＋＝＋＝0，

即有2kx1x2－2m＋(m－k)(x1＋x2)＝0，

由根与系数的关系，

可得2k·－2m＋(m－k)·＝0，

化简得m＝－2k，

则直线的方程为y＝kx－2k，

即y＝k(x－2)，

故直线l恒过定点(2，0).