数学浙教版第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理优秀习题

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专题2.5逆命题和逆定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•铜陵期末）下列说法正确的是（　　）
A．直线外一点到这条直线的垂线叫做点到直线的距离
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同旁内角互补是真命题
D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的性质及平行公理对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，不符合题意；
B、符合垂直的性质，正确，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2020春•江汉区期中）下列命题中，其逆命题成立的是（　　）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定、有理数的乘法法则、有理数的乘方法则判断即可．
【解答】解：A、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
C、如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，是假命题；
D、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题；
故选：A．
3．（2020春•思明区校级期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是2
C．立方根等于本身的数是0和1
D．若关于 x 的一元一次不等式组x≤mx＞1无解，则 m 的取值范围是m≤1
【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据坐标的意义和点到直线的距离的定义对B进行判断；根据﹣1的立方根为﹣1可C进行判断；根据不等式组的解集的确定方法对D进行判断．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A选项为假命题；
B、点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是3，所以B选项为假命题；
C、立方根等于本身的数是0和±1，所以C选项为假命题；
D、若关于 x 的一元一次不等式组x≤mx＞1无解，则 m 的取值范围是m≤1，所以D选项为真命题．
故选：D．
4．（2020春•莲池区校级期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
B．平行线之间的距离处处相等
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【分析】根据等腰三角形的性质对A进行判断；根据平行线的距离的定义对B进行判断；根据角平分线的性质对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、等腰三角形的底边上的高线、中线和顶角的角平分线互相重合，所以A选项为假命题；
B、平行线之间的距离处处相等，所以B选项为真命题；
C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以C选项为真命题；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以D选项为真命题．
故选：A．
5．（2020•雅安）下列四个选项中不是命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【解答】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．
故选：B．
6．（2020春•中山市期末）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据垂线段公理对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题；
C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D、垂线段最短，所以D选项为真命题．
故选：B．
7．（2020春•吴中区期末）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下面两个命题：①当CD、BE是△ABC的中线时，S三角形BFC＝S四边形ADFE；②当CD、BE是△ABC的角平分线时，∠BFC＝90°+12∠A．下列说法正确的是（　　）

A．①是真命题 ②是假命题 B．①是假命题 ②是真命题
C．①是假命题 ②是假命题 D．①是真命题 ②是真命题
【分析】由CD、BE是△ABC的中线，得出F是△ABC的重心，根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式可判定①是真命题；根据角平分线定义以及三角形内角和定理可判定②是真命题．
【解答】解：①∵CD、BE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴S三角形BFC=13S三角形ABC，
S三角形EFC=13S三角形BEC=16S三角形ABC，
S三角形BDF=13S三角形BDC=16S三角形ABC，
∴S四边形ADFE＝S三角形ABC﹣S三角形BFC﹣S三角形EFC﹣S三角形BDF
＝S三角形ABC−13S三角形ABC−16S三角形ABC−16S三角形ABC
=13S三角形ABC，
∴S三角形BFC＝S四边形ADFE，故命题①正确；
②∵CD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠BCF=12∠BCA，∠FBC=12∠ABC，
∴∠BFC＝180°﹣（∠BCF+∠FBC）
＝180°−12（∠BCA+∠ABC）
＝180°−12（180°﹣∠A）
＝90°+12∠A，故命题②正确．
故选：D．
8．（2020春•丹阳市期末）下列命题中真命题的有（　　）
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③多边形的外角和为360°；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平行线的判断方法对①④进行判断；根据绝对值的意义对②进行判断；根据多边形的外角定理对③进行判断．
【解答】解：同旁内角互补，两直线平行，所以①为真命题；
若|a|＝|b|，则a＝±b，所以②为假命题；
多边形的外角和为360°，所以③为真命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以④为真命题．
故选：D．
9．（2020春•中山市期末）下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．如果a＝b，那么a2＝b2
D．正方形的四条边相等
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、正方形的判定和平行线的判定进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，成立，符合题意；
C、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，不成立，不符合题意；
D、正方形的四条边相等的逆命题是四条边相等的四边形是正方形，不成立，不符合题意；
故选：B．
10．（2020春•渝中区期末）在平面直角坐标系中，对任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），规定运算如下：①A⊕B＝（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B＝x1x2+y1y2；③当x1＝x2．且y1＝y2时，称A＝B．则下面命题是假命题的为（　　）
A．若A（﹣1，2），B（2，1），则A⊕B＝（1，3），A⊗B＝0
B．若三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）满足A⊕B＝B⊕C，则A＝C
C．若三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）满足A⊗B＝B⊗C，则A＝C
D．任意三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），恒有（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）成立
【分析】A、根据新定义的运算法则，可计算出A⊕B＝（3，1），A⊗B＝0；
B、设C（x3，y3），根据新定义得A⊕B＝（x1+x2，y1+y2），B⊕C＝（x2+x3，y2+y3），则x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，于是得到x1＝x3，y1＝y3，然后根据新定义即可得到A＝C；
C、由于A⊗B＝x1x2+y1y2，B⊗C＝x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2＝x2x3+y2y3，不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C；
D、根据新定义的运算法则，可得（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3）．
【解答】解：A、∵A（﹣1，2），B（2，1），
∴A⊕B＝（﹣1+2，2+1），A⊗B＝﹣1×2+2×1，
即A⊕B＝（1，3），A⊗B＝0，故A正确；
B、设C（x3，y3），则A⊕B＝（x1+x2，y1+y2），B⊕C＝（x2+x3，y2+y3），
而A⊕B＝B⊕C，
所以x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，则x1＝x3，y1＝y3，
所以A＝C，故B正确；
C、A⊗B＝x1x2+y1y2，B⊗C＝x2x3+y2y3，
而A⊗B＝B⊗C，则x1x2+y1y2＝x2x3+y2y3，
不能得到x1＝x3，y1＝y3，
所以A≠C，故C不正确；
D、因为（A⊕B）⊕C＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），
所以（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C），故D正确．
综上所述，正确的命题为A，B，D．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•清江浦区期末）“内错角相等”的逆命题是　相等的角为内错角　．
【分析】交换原命题的题设与结论得到它的逆命题．
【解答】解：“内错角相等”的逆命题是“相等的角为内错角”．
故答案为相等的角为内错角．
12．（2020春•郑州期末）请写出一对是真命题的互逆命题：　直角三角形的两个锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形答案不唯一　．
【分析】交换原命题的题设与结论得到原命题的逆命题，进而解答即可．
【解答】解：命题为直角三角形的两个锐角互余；其逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形等；
故答案为：直角三角形的两个锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形答案不唯一．
13．（2020•瑶海区二模）命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：　真命题　（填“真命题”或“假命题”）．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
【解答】解：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么|a|＝|b|”，为真命题，
故答案为：真命题．
14．（2020春•胶州市期中）“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是　全等直角三角形的两条直角边对应相等．　
【分析】交换原命题的题设和结论即可确定原命题的逆命题．
【解答】解：“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是：全等直角三角形的两条直角边对应相等．
故答案为：全等直角三角形的两条直角边对应相等．
15．（2021秋•金山区期末）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题　面积相等的三角形全等　．
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
16．（2021秋•慈溪市期末）为说明命题：“对于任意实数x，都有x2＞0”是假命题，请举一个反例：　x＝0　．
【分析】找到一个实数使得x2＝0即可．
【解答】解：当x＝0时，x2＝0，
所以“对于任意实数x，都有x2＞0”是假命题，
故答案为：x＝0．
17．（2021秋•慈溪市期末）命題“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是　真　命題（填“真”或“假”）
【分析】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．
理由：如图，
已知：BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE，
求证：AB＝AC，
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，CE=BDBC=CB，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，（也可以用AAS判断△ADB≌△AEC）
故答案为：真．
18．（2021秋•永定区期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上　．
【分析】把原命题的题设与结论交换得到逆命题．
【解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，
故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•吴兴区期中）（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；
（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例．
【分析】（1）根据逆命题的概念写出逆命题；
（2）证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】解：（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题；
（2）该命题的逆命题为真命题，
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC，
求证：△ABC是等腰三角形
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
AD=AD∠ADB=∠ADCDB=DC，
∴△ADB≌△ADC（SAS）．
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

20．（2021秋•吴兴区期末）在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，请写出一个真命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式表示），并给出证明．

【分析】任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可组合得到4个命题，其中真命题有2种，分别为：
（1）①③④为条件，②为结论；（2）①②④为条件，③为结论；
【解答】解：（1）①③④⇒②为结论；
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF；故本命题为真命题；
（2）①②④⇒③；
∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF；故本命题为真命题；
21．（2021秋•临泉县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
解：我写的真命题是：
已知：　①②④　；
求证：　③　．（注：不能只填序号）
证明如下：

【分析】选①②④为条件，先证明BC＝EF，则可根据“SSS“判断△ABC≌△DEF，所以∠B＝∠DEF，然后根据平行线的判定得到③．
【解答】解：我写的真命题是：
已知：①②④；
求证：③
证明如下：
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，
在△ABC和△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE．
故答案为①②④；③．
22．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，有如下三个论断：①AD∥BC，②∠B＝∠C，③AD平分∠EAC．
（1）请从这三个论断中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果…那么…”的形式写出来．（写出所有的真命题，不要说明理由）（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明．
已知：　AD∥BC，∠B＝∠C；　
求证：　AD平分∠EAC；　
证明：　∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC　

【分析】（1）选择两个作为条件，余下的一个作为结论：如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①；
（2）①由平行线的性质得出∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，由已知得出∠DAE＝∠DAC，即可AD平分∠EAC；
②由平行线的性质得出∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，由角平分线得出∠DAE＝∠DAC，即可得出∠B＝∠C；
③由三角形的外角性质和已知得出∠EAC＝2∠B，由角平分线得出∠EAC＝2∠EAD，得出∠EAD＝∠B，即可得出AD∥BC．
【解答】（1）解：如果①②，那么③；
如果①③，那么②；
如果②③，那么①；
（2）①已知：AD∥BC，∠B＝∠C，求证：AD平分∠EAC；
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC；
②已知：AD∥BC，AD平分∠EAC，
求证：∠B＝∠C；
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴∠B＝∠C；
③已知：∠B＝∠C，AD平分∠EAC，
求证：AD∥BC；
证明：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC．
故答案为：AD∥BC，∠B＝∠C；
AD平分∠EAC；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC．
23．（2021秋•西湖区校级期中）如图给出下列五个等量关系
①AB＝AC；②BD＝CD；③∠BAD＝∠CAD；④∠B＝∠C＝90°；⑤∠BDA＝∠CDA．
请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以证明．
解：我选作为题设的等量关系是：　AB＝AC　、　BD＝CD　；
作为正确结论的等量关系是　∠BAD＝∠CAD　．
证明：

【分析】根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质定理证明结论．
【解答】解：我选作为题设的等量关系是：AB＝AC，BD＝CD，
作为正确结论的等量关系是∠BAD＝∠CAD，
证明：在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BAD＝∠CAD
故答案为：AB＝AC，BD＝CD；∠BAD＝∠CAD．
24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，在以下三个论断“EA＝ED，EF⊥AD，FB＝FC”中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，　EA＝ED，FB＝FC　．
求证：　EF⊥AD　．
证明：

【分析】根据题意写出已知、求证，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【解答】已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，EA＝ED，FB＝FC，
求证：EF⊥AD，
证明：∵EF＝ED，
∴点E在线段AD的垂直平分线上，
∵FB＝FB
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝DC，
∴点F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD，
故答案为：EA＝ED，FB＝FC；EF⊥AD．