初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理精品同步练习题

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专题2.3等腰三角形的性质定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•宁德期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　）

A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：C．
2．（2020•绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）

A．16° B．28° C．44° D．45°
【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，
由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
【解析】延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故选：C．

3．（2021秋•宜城市期末）如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0.5
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解析】∵等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝1，
∵∠E＝30°，
∴∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝1，
故选：C．
4．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
5．（2021秋•利川市期末）如图，AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（　　）

A．BE＝CF B．∠BDE＝∠CDF C．∠BED＝∠CFD D．∠BDE＝∠DAE
【分析】首先证明△AED≌△AFE，利用等式的性质可得EB＝CF，再利用全等三角形的性质可得∠EDA＝∠FDA，根据等腰三角形三线合一可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等角的余角相等可得∠BDE＝∠CDF，根据等角的补角相等可得∠BED＝∠CFD，条件无法证明∠BDE＝∠DAE．
【解析】∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，AB＝AC，
∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA＝∠FDA，
在△AED和△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠EDA=∠FDA，
∴△AED≌△AFE（ASA），
∴AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
∴EB＝FC，故A正确；
∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△AED≌△AFE，
∴∠EDA＝∠FDA，
∴∠BDE＝∠CDF，故B正确；
∵△AED≌△AFE，
∴∠AED＝∠AFD，
∴∠BED＝∠CFD，故C正确；
假设∠A＝∠BDE，则∠A+∠EDA＝90°，
∴DE⊥AB，
∵条件中没有DE⊥AB，
∴∠A＝∠BDE错误，故D错误；
故选：D．

6．（2021秋•兴业县期末）如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（　　）

A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM=12CE D．DM＝2CM
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠E=12∠ACB＝30°，连接BD，得到∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，根据等腰三角形的性质得到DM⊥BC，求得BM＝EM，故B正确；于是得到CM=12CD=12CE，故C正确；故D错误，BM＝3CM，故A正确；
【解析】∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E=12∠ACB＝30°，
连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故B正确；
∵CM=12CD=12CE，故C正确；故D错误，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故A正确；
故选：D．

7．（2021秋•义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（　　）
A．a22020 B．a22019 C．4040a D．4038a
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【解析】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2O=12α，
同理∠A3B3O=12∠A2B2O=122α，
∠A4B4O=123α，
∴∠AnBnO=12n−1α，
∴∠A2020B2020O=α22019，
故选：B．
8．（2020春•福田区期中）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）

A．2.5 s B．3 s C．3.5 s D．4 s
【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解析】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
9．（2021秋•陇县期中）在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（　　）

A．4 B．3 C．2 D．无法确定
【分析】由于AB＝AC，根据等边对等角可以得到：∠B＝∠C＝30°，又因为AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝CE，再根据等边对等角得到∠C＝∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠B的度数，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C．
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAE＝180°，即3∠B+90°＝180°，
∴∠B＝30°
∴∠C＝30°，
∵DE＝1，
∴EC＝2＝AE，
∴BE＝4，
故选：A．
10．（2021秋•仙居县期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）

A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大后变小
【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．
【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵BD＝2AE，
∴AD＝EN，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，AD=EN∠ADE=∠NEFDE=EF，
∴△ADE≌△NEF（SAS），
∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，
∴FN＝CN，
∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，
∴∠NCF＝30°，
即∠ECF＝30°，
故选：A．

二．填空题（共8小题）
11．（2020•邗江区二模）如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝　100　°．

【分析】根据等边三角形的性质可得角A等于60度，再根据两直线平行内错角相等即可求出角2的度数．
【解析】如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠3＝∠1＝40°，
∴∠4＝60°+40°＝100°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝100°．
故答案为：100．
12．（2020春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和E分别是边BC和AC上的点，且满足DB＝DA＝DE，∠CDE＝50°，则∠BAC＝　115　°．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求得即可．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝α，
∵DB＝DA＝DE，
∴∠DAB＝∠B＝α，∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠CDE+∠C＝50°+α，
∴∠DAE＝50°+α，
∴∠BAC＝∠DAE+∠DAB＝50°+2α，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2α+α+α＝180°，解得α＝32.5°，
∴∠BAC＝50°+2×32.5°＝115°，
故答案为115．
13．（2020•黄石模拟）如图，已知△ABC中，点E、F在AB边上，且AE＝AC，BF＝BC，∠ECF＝40°，则∠ACB＝　100°　．

【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEC+∠BFC＝140°，根据等腰三角形的性质可得∠ACE+∠BCF＝140°，再根据角的和差关系即可解决问题．
【解析】∵∠ECF＝40°，
∴∠AEC+∠BFC＝140°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF，
∴∠ACE+∠BCF＝140°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCF﹣∠ECF＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
14．（2020•宁波模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝　20　度．

【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
设∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案为：20．

15．（2020春•顺德区期末）如图，已知AC＝BC，BD＝BM，ME＝MF，∠C＝60°，则∠F＝　15°　．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵BD＝DM，
∴∠BDM＝∠DMB，
∵∠ABC＝∠BMD+∠BDM＝60°，
∴∠BMD＝30°，
∵EM＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE，
∵∠BMD＝∠MEF+∠MFE，
∴∠F=12∠BMD=15°，
故答案为：15°．
16．（2020•武汉模拟）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，过△ABC其中一个顶点的直线把△ABC分成两个等腰三角形，则α的值为　90°或108°或36°或（1807）°　．
【分析】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．
【解析】①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB＝AC，AD＝CD＝BD，
设∠B＝x°，
则∠BAD＝∠B＝x°，∠C＝∠B＝x°，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴x+x+x+x＝180，
解得x＝45，
则α的值为90°；
②如图2，

AB＝AC＝CD，BD＝AD，
设∠C＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝x°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x°，
∴∠BAC＝3x°，
∴x+x+3x＝180，
解得x＝36°，
则α的值为108°．
③如图3，

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB＝AC，BC＝BD＝AD，
设∠A＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠CDB＝∠ABD+∠A＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠CDB＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36°，
则α的值为36°．
④如图4，

当∠A＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，
AD＝BD，BC＝DC，
∠A＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x，
则x+3x+3x＝180°，
解得x＝（1807）°．
则α的值为90°或108°或36°或（1807）°．
故答案为：90°或108°或36°或（1807）°．
17．（2021秋•长清区期末）如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　120°　．

【分析】先由正三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再由折叠，得∠DFE＝∠A＝60°，再根据三角形内角和及“一线三等角”可得结论．
【解析】∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
18．（2020春•成都期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．

（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC　25　度；
（2）如图2，设∠BAC＝α （90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝　α﹣90°　．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的想知道的∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°−12α，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°−12α，求得∠DCE＝2（90°−12α）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°−12α，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°−12α，
∴∠DCE＝2（90°−12α）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．

三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•溧水区期中）如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AB上的点，且AE＝AD，求∠EDB的度数．

【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠AED的度数，继而求得答案．
【解析】∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED=180°−∠BAD2=75°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
20．（2021秋•岱岳区期中）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求DF的长．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；

（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝4，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝8．
21．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长为10，且AC﹣BC＝2，求AC、BC的长．

【分析】根据线段垂直平分线性质求AE＝BE，求出AC+BC＝10，解方程组求出AC、BC即可．
【解析】∵D是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为10，
∴BC+CE+BE＝10，
∴AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝6，BC＝4．
22．（2020春•沈河区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．

【分析】（1）根据平行线和全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，∠E=∠DCO∠BOE=∠CODBE=CD，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
23．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°−12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE=12∠AEB＝90°−12n°−12m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°−12n°−12m°=12n°．
24．（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝　100°　；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；
（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．
【解析】（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．