5.3　诱导公式

第一课时　诱导公式二、三、四

课标要求　1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

素养要求　借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.

一、诱导公式二

1.问题　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？

提示　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P关于原点对称.

2.问题　角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有什么关系呢？两点的坐标有什么关系？

提示　点P1与点P关于原点对称，两点P1与P的横坐标、纵坐标分别互为相反数.

3.填空　诱导公式二：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α.

4.做一做　若sin(3π＋α)＝，则sin α等于(　　)

A.   B.－

C.3   D.－3

答案　B

解析　∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α.

∴－sin α＝，则sin α＝－.

二、诱导公式三与公式四

1.问题　(1)角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？

提示　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，点P2与点P关于x轴对称.

(2)点P与点P2的坐标有什么关系？

提示　点P与点P2的横坐标相等，纵坐标相反.

2.思考　你能否借助π＋α，－α与α的终边关系，猜想到角π－α与α终边与单位圆的交点之间的关系，两交点的坐标有什么联系？

提示　角π－α与角α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，两点的横坐标相反，纵坐标相等.

3.填空　(1)诱导公式三：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α.

(2)诱导公式四：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α.

温馨提醒　诱导公式记忆口诀：函数名不变，符号看象限.

4.做一做　(多选)下列各式中，正确的是(　　)

A.sin(－x)＝sin x  　　　　 B.cos(2π－x)＝cos x

C.tan(x－3π)＝tan x  　　　　 D.cos(x－π)＝－cos x

答案　BCD

解析　sin(－x)＝－sin x，知A不正确.

cos(2π－x)＝cos(－x)＝cos x知，B正确.

tan(x－3π)＝tan(x－π)＝tan x，知C正确.

cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cos x，知D正确.

5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)tan 210°＝.(√)

(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角.(×)

(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C.(√)

(4)sin(α－π)＝sin α.(×)

题型一　给角求值

例1 利用公式求下列三角函数值：

(1)cos(－480°)＋sin 210°；

(2)sin·cos ·tan .

解　(1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)

＝cos(360°＋120°)－sin 30°

＝cos 120°－＝cos(180°－60°)－

＝－cos 60°－＝－－＝－1.

(2)原式＝sin·cos·tan

＝sin ·cos ·tan

＝sin·cos ·tan

＝－sin ·cos ·tan

＝－××＝－.

思维升华　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”：用公式一或三来转化.

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.

(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.

(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.

训练1 sin ＋tan －cos＝________.

答案　0

解析　原式＝sin＋tan－cos

＝sin ＋tan－cos

＝sin －tan ＋cos

＝－1＋＝0.

题型二　给值(或式)求值问题

例2 已知cos＝，求cos－sin2的值.

解　因为cos＝cos

＝－cos＝－，

sin2＝sin2＝sin2

＝1－cos2＝1－＝，

所以cos－sin2＝－－＝－.

迁移1 若本例的条件不变，如何求cos？

解　cos＝cos

＝cos＝cos＝.

迁移2 若本例条件不变，求cos－sin2的值.

解　cos－sin2

＝cos－sin2

＝－cos－sin2＝－－

＝－.

思维升华　1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.

2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

训练2 已知sin＝－，且θ∈，则cos＝________.

答案　－

解析　cos＝cos

＝－cos，

∵θ∈∴θ－∈，

∴cos>0，

即cos＝＝，

∴cos＝－.

题型三　利用诱导公式化简

例3 化简下列各式：

(1)；

(2).

解　(1)原式＝

＝

＝－＝－tan α.

(2)原式＝

＝

＝

＝＝－1.

思维升华　三角函数式化简的常用方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.

(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .

训练3 化简：(1)；

(2).

解　(1)原式＝

＝＝＝1.

(2)原式＝

＝＝＝－1.

[课堂小结]

1.利用诱导公式化简(计算)的步骤：

负化正―→大化小―→化成锐角―→求值.

2.诱导公式的记忆

这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.

3.诱导公式一～四主要用于化简、求值、证明，解题的主要误区是“符号”的判定.

一、基础达标

1.(多选)下列式子中正确的是(　　)

A.sin(π－α)＝－sin α

B.cos(π＋α)＝－cos α

C.sin(π＋α)＝sin α

D.sin(2π＋α)＝sin α

答案　BD

解析　A中sin(π－α)＝sin α，C中sin(π＋α)＝－sin α，B，D正确.

2.cos的值是(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

答案　B

解析　cos＝cos＝cos

＝cos ＝cos＝－cos ＝－.

3.化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　)

A.1   B.2sin2α 

C.0   D.2

答案　D

解析　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.

4.已知tan＝，则tan等于(　　)

A.   B.－ 

C.  D.－

答案　B

解析　因为tan＝tan＝－tan，

所以tan＝－.

5.(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 022π)的值可以为(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

答案　AB

解析　sin(π－α)＝，∴sin α＝，

cos(α－2 022π)＝cos α＝±＝±.

6.若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________.

答案　－

解析　由题意知sin α＝，

原式＝＝－＝－＝－.

7.的值是________________.

答案　－2

解析　原式＝

＝

＝

＝＝＝－2.

8.已知α是三角形的一个内角，且cos(π＋α)＝，则tan(π－α)的值是________.

答案　

解析　∵cos(π＋α)＝，∴cos α＝－.

又α是三角形的一个内角，∴sin α＝，

因此tan(π－α)＝－tan α＝－＝.

9.化简：(1)；

(2).

解　(1)

＝

＝＝－cos2α.

(2)

＝＝－cos α.

10.已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限角，且sin(α－5π)＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－2 220°，求f(α)的值.

解　(1)f(α)＝＝－cos α.

(2)∵sin(α－5π)＝－sin α＝，

∴sin α＝－.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－.

∴f(α)＝－cos α＝.

(3)∵－2 220°＝－6×360°－60°，

∴f(α)＝f(－2 220°)＝－cos(－2 220°)

＝－cos(－6×360°－60°)＝－cos 60°

＝－.

二、能力提升

11.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　∵sin(－110°)＝－sin 110°

＝－sin(180°－70°)

＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，

∴cos 70°＝＝，

∴tan 70°＝＝.

12.已知cos α＝，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于(　　)

A.±   B.±

C.   D.

答案　D

解析　原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)

＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，

由cos α＝，得sin2α＝1－cos2α＝.

13.已知角α是第二象限角，且sin α＝.

(1)化简，并求值；

(2)若sin＝a，请判断实数a的符号，计算cos的值.(用字母a表示即可).

解　(1)因为α是第二象限角，

所以cos α<0.

所以cos α＝－＝－.

所以原式＝－＝cos α＝－.

(2)因为α是第二象限角，

所以－α是第三象限角，所以－α是第四象限角.

所以sin<0，即a<0.

所以cos＝cos＝cos

＝＝.

三、创新拓展

14.已知f(x)＝则f＋f的值为________.

答案　－2

解析　因为f＝sin

＝sin＝sin ＝；

f＝f－1＝f－2

＝sin－2＝－－2＝－.

所以f＋f＝－2.