初中人教版第十五章 分式综合与测试课后作业题

专题10 分式与分式方程压轴题-高分突破（原卷版）

题型一：分式方程的无解问题

1. （长郡）（1）若关于的方程无解，求的值；

（2）若 n 是自然数，关于 x 的分式方程的解为，且，求的值。

2.（中雅）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点的“系雅培点”。

例如：的“3系雅培点”为，即。

（1）点的“2系雅培点”的坐标为          ；

（2）若点在轴的正半轴上，点的“系雅培点”为点，若在△中，，求的值；

（3）已知点在第四象限，且满足。点是点的“系雅培点”，若分式方程无解，求的值。

3．（师大）已知，关于x的分式方程．

（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；

（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程无解；

（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．

题型二：分式的分子有理化类压轴题

4. （青竹湖）阅读下列材料：

我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如：、这样的分式就是假分式，再如：、这样的分式就是真分式，类似地，假分式也可以化为带分式.

如：.
解决下列问题：

（1）分式是            （填“真分式”或“假分式”）；

假分式可化为带分式               的形式；

（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；

（3）求分式的最值。
 

5.（一中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如：.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”。如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).如：；

解决下列问题：

（1）分式是________分式(填“真”或“假”)；（2）将假分式化为带分式；

（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值.

6.（广益）阅读与应用：我们知道，即，所以我们可以得到，（当且仅当）

类比学习：若和为实数且，则必有，当且仅当时取等号；

其证明如下：

，，（当且仅当时，有）

例如：求的最小值，即，此时当且仅当时，即时，的最小值为.

（1）阅读上面材料，当       时，则代数式的最小值为         .

（2）求的最小值，并求出当取最小值时，的值.

（3）若，求代数式的最大值，并求出此时的值.

7.（郡维）我们学过单项式验以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用整式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，再类似数的整式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数。这个过程暂且称之为“大除法”

例如计算

由过程得：∴

（1）类似小学学过的：，

我们有类似的结论：被除式                 

（2）请你用竖式计算：         

（3）己知，求多项式          

（4）若取整数，则使分式的值为整数，则           

（5）求分式的取值范围

题型三：其它压轴题

8.（青竹湖）湘一“追逐梦想”数学兴趣小组编了一个“诗·远方”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“诗”，若输出的是等式称为“远方”.

回答下列问题：

（1）当输入正整数，时，得到“远方”和“诗”，若“远方”为，求证“诗”：是完全平方式.（温馨提示：对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式，比如，是完全平方式）

（2）当输入，时，求“远方”：的，的正整数解.

（3）若正数，互为倒数，求“诗”：的最小值。

9.（雅礼）对，定义一种新运算，规定：(其中、均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：.

(1)已知，.

①求，的值；

②若关于的不等式组无解，求实数的取值范围.

(2)若对任意实数，都成立(这里和均有意义)则，应满足怎样的关系式？

10.（雅实）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，.

应用上面的结论解答下列问题：

（1）方程的两个解分别为，，则_________，_________；

（2）方程的两个解中较大的一个为 　　；

（3）关于x的方程的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），则x1＝　　，x2＝　　．

11.（青竹湖）若多项式 与都是常数，，满足，则称这两个多项式为“湘一相依”多项式.

⑴填空：写出“湘一相依”多项式为        ；分解因式为            .  

⑵求证：若，多项式与多项式

互为“湘一相依”多项式；

⑶正数 m，n 满足多项式与，并且将，若两多项式是互为“湘一相依”多项式，求的取值范围.