初中数学第十八章 平行四边形综合与测试练习

专题14 菱形、正方形的性质与判定重难点题型分类-高分突破

（原卷版）

题型一 菱形的性质

1.（中雅培粹）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC=130°，则∠AOE的度数为（    ）

A.75°            B.65°           C.55°           D.50°

2.（中雅培粹）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（   ）

A.            B.           C.           D.

3.（长郡）如图，已知菱形的对角线、交于点，，，则菱形的面积是__________.

4.（中雅培粹）已知菱形ABCD的面积是，对角线，则菱形的边长是     .

题型二 菱形的判定

5.（中雅培粹）如图，添加下列条件之一，能使平行四边形是菱形的是（    ）

①；②；③；④；

A.①③          B.②③         C.③④         D.①②③

6.（中雅）已知矩形，把沿翻折，得，，所在的直线交于点，过点作交所在直线于点.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，求四边形的面积.

7.(长郡培粹)如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N(如图①)，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到图②，连接CN.

(1)求证：四边形AMCN是菱形；

(2)若的面积与的面积比为1:3，求的值.

8.（广益）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AD＝AB+2，BD＝10，求四边形BFDG的面积．

题型三 中点套路：中位线＆Rt△斜边上的中线

9.（中雅）顺次联结对角线互相垂直且相等的四边形四边的中点所得的四边形是（    ）

A.平行四边形          B.矩形          C.菱形         D.正方形

10.(雅礼)如图，是矩形的一条对角线，点分别是的中点，若，则的长为______．

11.(师大高新)如图，已知矩形，，点、分别是，上的定点，点、分别是、的中点，若，则=（    ）

A. 12   B. 6.5   C. 9    D. 不能确定

12.(长郡培粹)已知中，，点O在的内部，，，D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点.

(1)求证：四边形DEFG是矩形；

(2)若，，求的面积.

13.（中雅培粹）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF。

（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求四边形BCFE的面积。

14.(雅礼)如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90，点D、E 分别是边 AB 、 AC 的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF 、CF .

(1)求证：四边形 AFCD是菱形；

(2)当 AC=，BC=5时，判断△DFB 的形状，并说明理由．

题型四 正方形的性质与判定

15.（长郡培粹）下列命题中，错误的是(　　)

A.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形        B.对角线互相垂直的矩形是正方形

C.有一个角是直角的菱形是正方形                    D.对角线相等的四边形是矩形

16.（长郡培粹）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤.其中正确结论的序号为(　　)

A.①③⑤    B.①②④⑤   C.①③④⑤   D.②③④

17.（长郡）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，.下列结论：①；②且；③；④；⑤若，则.其中哪些结论是正确(   )

A.①②④⑤   B.②③④    C.①②③    D.②③④⑤

18.（青竹湖）在边长为的正方形中，为上的一动点，为中点，交延长线于，过作交的延长线于，则下列结论：

①；②；③当为中点时，；④若为的中点，当从移动到时，线段扫过的面积为，其中正确的有(   )

A.个    B.个    C.个    D.个

19.(广益)如图所示，在正方形 ABCD中，E是 AB上一点，F 是 AD延长线上一点，且FD=BE，连接 CE，CF .

(1)求证：∠BCE=∠ DCF；

(2)若点G在 AD上，且∠ ECG=45°，连接GE，求证：GE=BE+DG.

20.（中雅培粹）如图，正方形ABCD的边长为1，G是C边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE，BG的延长线交DE于H。

（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BH⊥DE；（3）当时，求此时CH的长（结果保留根号）

21.（长郡）已知正方形，点是射线上一动点(不与、重合).连接，直线交直线于点，交于，连接，过点作交于点.

(1)若点在边上，如图1

①证明：

②猜想的形状并说明理由.

(2)取中点，连接.若，正方形边长为，求的长.

22.（中雅）已知，点在正方形的边上(不与点，重合)，是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，.

(1)求证：；

(2)①用等式表示线段与的数量关系，并证明；

②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由.