初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试达标测试

专题02 高分突破-韦达定理重难点题型分类（解析版）

题型一：判别式的应用

考向1：判别式的小题

1．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+1＝0有两个相等的实根，那么k的取值为（　　）

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝0或1 D．k＝﹣1

【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4k＝0，解得k＝1．故选：B．

2．方程（k﹣1）x2﹣x+＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1

【解答】解：当k＝1时，原方程不成立，故k≠1，∴方程为一元二次方程，

又此方程有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×（k﹣1）×＝1﹣k﹣（k﹣1）＝2﹣2k≥0，

解得：k≤1，1﹣k＞0，综上k的取值范围是k＜1．故选：D．

3．关于x的方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1

【解答】解：依题意得：k＝﹣1时，方程有实根，k≠﹣1时，Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）×1≥0，

解得k≤0．故选：B．

4．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3

【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴，解得：m＞1且m≠3．故选：D．

考向2：判别式与等腰三角形的综合题

5.（雅礼）已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长.

(1)如果是方程的根，判断的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由.

【解答】解：(1)当时，原方程，则，所以△ABC为等腰三角形；

(2)∵， ∴△=，∴，∴△ABC为直角三角形。

6.（南雅）已知关于的方程

(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．

【解答】解：(1)证明：∵△=b2−4ac=(3k+1)2−4(2k2+2k)=9k2+6k+1−8k2−8k=k2−2k+1=(k−1)2⩾0，

∴无论k取何值，方程总有实数根。

(2)①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0.∴(k−1)2=0，解得：k=1.

此时原方程化为x2−4x+4=0，∴x1=x2=2，即b=c=2.此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；

②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，代入方程：62−6(3k+1)+2k2+2k=0，解得k=3或5，

则原方程化为x2−10x+24=0或x2−16x+60=0，解得x1=4,x2=6或x1=6,x2=10，即b=6，c=4，或b=6，c=10

此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，周长为6+6+4=16或6+6+10=22.

7.（雅实）已知关于的一元二次方程

(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

【解答】解：(1)∵△=(8+k)2−4×8k=(k−8)2，∵(k−8)2，⩾0，∴△⩾0，

∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

(2)解方程x2−(8+k)x+8k=0得x1=k，x2=8（十字相乘法因式分解），

①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；

②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=21.

题型二：韦达定理的应用

考向1：原始公式的应用

8．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）

A．﹣ B． C． D．6

【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x﹣m＝0得：

（）2﹣4×﹣m＝0，解得：m＝﹣．故选：A．

9．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是　                　．

【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根，由已知得：，即，解得：m＞．故答案为：m＞．

10.已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝　 　．

【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，∴α+β＝1，αβ＝﹣3，

∴（α+3）（β+3）＝αβ+3α+3β+9＝αβ+3（α+β）+9＝﹣3+3×1+9＝9；故答案为：9．

考向2：推导公式的应用

11.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且|x1﹣x2|＝5，则a＝　 　．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4a＝25﹣4a，∵|x1﹣x2|＝5，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，

∴25﹣4a＝25，解得a＝0，故答案为：0．

12．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（　　）

A． B． C．或2 D．或2

【解答】解：∵实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根．当m＝n时，+＝1+1＝2；当m，n为一元二次方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根时，m+n＝7，mn＝2，∴+＝＝＝．

综上所述，+的值为2或．

故选：D．

考向3：韦达定理的中档文字题

13.（长郡）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.

(1)求的取值范围；

(2)若方程的两个根分别为，且，求的值.

【解答】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，∴(2k+1)2−4(k2+1)>0，整理得，4k−3>0，解得：k>，故实数k的取值范围为k>；

(2)∵方程的两个根分别为x1,x2，∴x1+x2=−(2k+1),x1x2=k2+1，∴，∴(x1+x2)2−2x1x2=5，

∴[−(2k+1)]2−2(k2+1)=5，整理得出：k2+2k−3=0，解得：k1=−3,k2=1，∵k>，∴k=1.

14.（广益）关于的方程有两个不相等实数根、.

(1)求的取值范围；

(2)，求的值.

【解答】解：(1)∵关于x的方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根α，β，
∴△=（2k+3）2-4k2=12k+9>0，解得：k>-

(2)∵关于x的方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个实数根α、β，∴α+β=-（2k+3），αβ=k2．∵α+β+αβ=5，
∴k2-2k-3=5，解得k=4或-2，由（1）可知k=-2不合题意，舍去．∴k=4，
∴α+β=-11，αβ=16，
则（α-β）2+3αβ-5=（α+β）2-αβ-5=121-16-5=100．

15.（广益）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.

(1)求的取值范围；(2)若，求的值.

【解答】解：(1)则则且

(2)，。

16.（中雅）已知关于的方程：.

(1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

(2)设方程的两根为，，若，求的值.

【解答】解：(1)；

 (2)，。

17.（南雅）关于的方程.

(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；

(2)设是方程的两个根，记.的值能为2吗？若能，求出此时的值，若不能，请说明理由.

【解答】解：(1)当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=−1，此时该方程有实根；

当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=(2k)2−4(k−1)×2=4k2−8k+8=4(k−1)2+4>0，

∴无论k为何实数，方程总有实数根；

(2)由根与系数关系可知,x1+x2=,x1x2=，若S=2,则,即，将x1+x2、x1x2代入整理得：k2−3k+2=0，解得：k=1(舍)或k=2，

∴S的值能为2，此时k=2.

18.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．

（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：，求m的值

【解答】解：(1)，则；

(2)∵，∴，则，即：，。