高中4.5 函数的应用（二）课时训练

4.5.2　用二分法求方程的近似解

基础过关练

　题组一　二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解

1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

2.已知函数f(x)在区间(0,a)(a>0)上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间上一定有零点

B.函数f(x)在区间或上有零点,或零点是

C.函数f(x)在区间上无零点

D.函数f(x)在区间或上有零点

3.(2022河南南阳一中月考)已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　　)

A.5　　　　　B.6　　　　　C.7　　　　　D.8

4.(2021江西抚州期末) 用二分法求函数f(x)=log2x+a-2x零点的近似值时,如果确定零点所处的初始区间为,那么a的取值范围为　　　　. 

题组二　二分法的应用 

5.用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)时,部分数据如下表.

则该方程的近似解可为(　　)

A.1.25　　　　　B.1.35　　　　　C.1.325　　　　　D.1.375

6.(2021浙江宁波期中)在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查,……,以此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　　)

A.3　　　　　B.4　　　　　C.5　　　　　D.6

7.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0, f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.

答案全解全析

基础过关练

1.D　根据二分法的原则,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件,而选项D不符合,由于零点左右两侧的函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点的近似值,故选D.

2.B　 根据题意,可得函数f(x)在区间上一定有零点,将该区间二等分得出函数f(x)在区间或上有零点,或零点是,故选B.

3.C　每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即2n>100,

又26<100<27,∴n>6,则至少等分的次数为7.故选C.

4.答案　

解析　∵零点所处的初始区间为,

∴ff=(-1+a-1)<0,解得2<a<.

5.D　令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0.

∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,

∴方程2x+x=4在[1,2]内的近似解可为1.375.

6.C　第1次检验:32人分成两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;

第2次检验:留下的16人分成两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;

第3次检验:留下的8人分成两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;

第4次检验:留下的4人分成两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;

第5次检验:留下的2人分成两组,每组1人,若第一个人检测结果为阴性,则第二个人感染,若第一个人检测结果为阳性,则第二个人没有感染.

综上,最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测.故选C.

7.证明　∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.

∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,

∴-b-c>c,即a>c.

∵f(0)>0,

∴f(0)=c>0,∴a>0.

取区间[0,1]的中点值,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.

∵f(0)>0,f(1)>0,f(x)的图象连续不断,

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.

又f(x)为二次函数,最多有两个零点,

∴f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.