高中人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时教学设计，共13页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第六节《函数y=Asin(ωx+φ）》。以下是本节的课时安排：
二、学情分析
对学生而言，前面已经学习了正弦、余弦函数的图象及性质，掌握了作正弦、余弦函数图象的五点作图法，有了前面的基础，再对函数的图象与性质进行深入学习，学生学习起来还是比较感兴趣的．
三、学习目标
1.结合实例，探究对函数图象的影响，培养直观想象的核心素养；
2.结合实例，探究对函数周期的影响，加深对周期函数概念的理解.提升数学抽象的核心素养；
3. 结合实例，探究对函数图象的影响，培养直观想象的核心素养。
四、教学重点
重点：将考察参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法．
难点：ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响规律的概括．
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似.
【探究】能否通过函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象呢？
【提示】能.
2.探索交流，解决问题
常见的函数图象变换：
1.平移变换
y＝f(x)eq \(―――――――――――――――→,\s\up7(a＞0，右移a个单位长度),\s\d5(a<0，左移|a|个单位长度))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――――→,\s\up7(b＞0，上移b个单位长度),\s\d5(b＜0，下移|b|个单位长度))y＝f(x)＋b.
2.对称变换
(1)函数y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(2)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(3)函数y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称．
(4)函数y＝f－1(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
(5)y＝f(x)eq \(――→,\s\up12(关于直线x＝a对称))y＝f(2a－x)．
(6)y＝f(x)eq \(―――――――→,\s\up12(关于点a，0对称))y＝f(2a－x)．
3.翻折变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\d5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.
（二）三角函数的图象变换
【探究1】由y＝sin x的图象能得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象吗？
【提示】 能，向左平移eq \f(π,4)个单位即可．
φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象.
【做一做1】要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(1,6)个单位长度D．向右平移eq \f(1,6)个单位长度
【探究2】函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin eq \f(1,2)x的最小正周期分别是什么？
【提示】 2π，π，4π.
【探究3】三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
【提示】 y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的eq \f(1,2)倍，y＝sineq \f(1,2)x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
【探究4】函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
【提示】 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变），就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象。
影响了函数的周期，当变大时，周期变小；当变小时，周期变大。
【做一做2】将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．
【提示】y=sin9x
【探究5】对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝eq \f(1,2)sin x的函数值有何关系？
【提示】 y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝eq \f(1,2)sin x的函数值是y＝sin x的函数值的eq \f(1,2).
【探究6】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象是否可以通过y＝sin(ωx＋φ)的图象得到？
【提示】可以.
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，看可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是−A，A，最大值是A，最小值是-A。
(4)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
函数y＝Asin(ωx＋φ)（A>0,ω>0）的图象，可以用下面方法得到：先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象。
（三）典型例题
1.平移变换
例1. (1)要得到y＝cs(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向左平移eq \f(1,2)个单位长度 D．向右平移eq \f(1,2)个单位长度
(2)为得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(5π,12)个单位长度 B．向右平移eq \f(5π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(5π,6)个单位长度 D．向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
【解析】(1)y＝cs 2x→y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝cs(2x＋1)，故选C.
(2)因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))).
由题意知，要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))的图象只需将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(5π,12)个单位长度．
【答案】 (1)C (2)A
【类题通法】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．左右平移时要注意：明确平移的方向；要弄清楚平移的单位长度是针对“自变量x”的改变量，以免混淆而导致失误、总之，弄清平移对象是减少失误的好方法．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
【巩固练习1】为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
【解析】y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))))).故选B.
【答案】B
2.伸缩变换
例2.已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，该函数的图象如何由y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到？
【解析】法一 步骤：(1)将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象；
(2)把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
(3)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
法二 (1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，得到函数y＝ sin 2x的图象；
(2)将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
(3)将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
【类题通法】由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，变换途径主要有两种，两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：
(1)先先平移后伸缩，平移|φ|个单位．
(2)先伸缩后平移，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
(3)类似地，y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cs x的图象变换得到．
【巩固练习2】(1)说出y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象怎样由y＝sin eq \f(1,2)x的图象得到？
(2)把函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，求所得图象的解析式．
【解析】 (1)∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝sineq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象可由y＝sin eq \f(1,2)x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位得到．
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up11(横坐标变为原来的2倍),\s\d4(纵坐标不变))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up11(向右平移),\s\d4(\f(π,3)个单位长度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(2π,3))).
匀速圆周运动模型
例3.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
【解析】 (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq \f(π,2).
故B点坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4.8cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2))))).
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，θ∈[0，＋∞)．
(2)点A在圆上转动的角速度是eq \f(π,30)，故t秒转过的弧度数为eq \f(π,30)t，
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1，得eq \f(π,30)t－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，∴t＝30.
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
【类题通法】三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点：
(1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．
(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．
(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论。
审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”这个过程就是数学建模过程．
【巩固练习3】如图游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12 min，其中心O距离地面40.5 m，半径为40 m．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(m)与时间t(min)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5 m时，用了多长时间？
【解析】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cs ωt，t≥0，由周期为12 min可知当t＝6时摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝eq \f(π,6).
所以y＝40.5－40cseq \f(π,6)t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0 min时距地面60.5 m，由60.5＝40.5－40cseq \f(π,6)t0，得cseq \f(π,6)t0＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(π,6)t0＝eq \f(2π,3)或eq \f(π,6)t0＝eq \f(4π,3)，解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(min)时，第2次距地面60.5 m，故第4次距离地面60.5 m时，用了12＋8＝20(min)．
（四）操作演练 素养提升
1．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
2．要得到函数y＝cs 2x的图象，只需将y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
3．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)
C．0 D．－eq \f(π,4)
4．函数y＝cs(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移eq \f(π,2)个单位后，与函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象重合，则φ＝________.
【答案】1.A 2.B 3.B 4.5π6
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、布置作业
完成教材：第239页 练习 第2，3，4题
第240页 习题5.6 第1,3,5，7 题
课时内容
函数y=Asin(ωx+φ）的图象
所在位置
教材第232页
新教材
内容
分析
教材首先提出研究任意匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质，这样处理，既体现了研究函数y=Asin(ωx+φ） 的现实需要，让学生体会到学习函数y=Asin(ωx+φ） 的必要性，也能很好的体现课改理念，加强数学与现实生活的联系。在针对函数 y=Asin(ωx+φ） 的研究过程中，通过一连串的“思考”与“探究”，引导学生观察、归纳、抽象、概括、综合、分析、联想、总结，在理解函数y=Asin(ωx+φ） 的实际意义的基础上，重点研究参数A,ω，φ对函数 y=Asin(ωx+φ） 图象的影响，从而进一步把握此函数的图象与性质。
核心素养培养
通过实例，理解参数A,ω，φ对函数 y=Asin(ωx+φ） 图象的影响，提升直观想象的核心素养.
教学主线
三角函数的图象