人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教案设计

《4.3.2 对数的运算》教学设计

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第三节《对数》（第二课时）。因为运算，数的威力无限，对数运算和指数幂的运算是两类重要的运算，所以是应用指数幂的运算去推导学习对数的运算性质。

二，学情分析

学生已经学习了对数的概念与性质，根据对数与指数幂的对应关系，不难得出对数的运算性质。有了对数的运算性质之后，加强学生的运算能力的培养，此外，引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算是一个挑战。

三．学习目标

1、掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.

2、掌握换底公式及其推论.

3、能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

四．教学重点

重点：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件，在此过程中培养学生的数学抽象、数学运算的核心素养。

难点：掌握换底公式及换底公式的推导。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）.
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略（1564-1642）说：“给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙”.又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”.
     最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫“真数”,0.3010叫做“假数”,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 “假数”为“对数”.
    我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后,大为叹服.

【想一想】已知lg2=0.3010，你会求lg5的值吗？

提示：利用对数的运算性质.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 已知有两位同学分别给出了自己的解答过程，你发现了什么？

【思考1】（1）？

（2）通过上述过程，你发现了什么？

【提示】  （1）

（2）.

【设计意图】

 由问题引发学生思考：从指数与对数之间的关系以及指数的运算性质中，得出其他相应对数的运算性质，培养学生数学抽象的核心素养。

（二）对数的运算性质

1.对数的运算性质：一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；   (2)loga＝logaM－logaN；     (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

2.对运算性质的深度剖析：

（1）在利用对数的运算性质进行运算时，必须底数相同才可以．

（2）真数大于0，是M>0，N>0，并不是MN>0：

【做一做】 化简求式子的值

(1)log84＋log82； (2)log510－log52；(3)lg ； (4)已知ln a＝0.2，求ln 的值.

解：(1)log84＋log82=log88＝1.            (2)log510－log52=log55=1.

(3)lg  =.             (4)已知ln a＝0.2, ln  = lne - lna=1- 0.2=0.8.

【设计意图】

通过具体的例子，让加深学生对对数运算的理解及应用。

（三）对数的换底公式

【思考2】1.

如果将底数换成c(c>0,且c≠1)等式还成立吗？

提示：成立，推导如下：

2.这个等式能推广到任意底数的对数式吗？我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？

提示：将公式进行推广，可得logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)

推导如下：

【设计意图】

让学生经历从特殊到一般的归纳过程，得出对数的换底公式，培养学生数学抽象的核心素养。

对数的换底公式

1. 对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)

特别提醒：

    换底公式中的底数需要满足c>0，且c≠1，分子分母上底数相同，

【探究】1.换底公式中的c=b时，会有什么结论呢？

提示：，可见将对数的底数和真数位置互换，两个对数值互为倒数。但是b≠1.

2.对数的运算性质中真数的指数可以拿到对数式的前边，底数的指数可以吗？

提示：可以，推导如下：

2.换底公式的重要推论

(1)logaN＝(a>0，且a≠1；N>0，且N≠1)；

(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．

【做一做】  求值。

1.＝______ ；2.4＝______ ；3.若log5·log36·log6x＝2，则x＝______

提示：1.＝×＝×＝.  

      2.4＝()4＝4.

     3.原式＝××＝＝2，∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x＝.

【设计意图】

通过具体的例子，使学生掌握对数的换底公式.

（四）对数的运算性质及换底公式的应用

1.对数的运算性质

例1  计算下列各式的值(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(2)；(3)log535－2log5＋log57－log51.8.

解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2

＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

(2)原式＝＝＝.

(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.

【类题通法】对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

跟踪训练1.计算下列各式的值(1)log5；(2)log2(32×42)；

解：(1)log5＝log5625＝log554＝.

(2)log2(32×42)＝log232＋log242＝5＋4＝9.

2.换底公式的应用

例2  计算:(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log.   (2)(log43－log83)(log32－log92)．

【类题通法】利用换底公式化简与求值的思路

跟踪训练2.求值.

解：　＝·＝－·log32·3log23＝－.

例3.已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

解　法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，

于是log3645＝＝＝＝＝＝.

法二　∵log189＝a，18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，

∴log3645＝＝＝＝＝.

【延伸拓展】已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.

解　∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，

∴log4256＝＝＝.

【类题通法】利用对数式与指数式互化求值的方法

在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

跟踪训练3.已知log1227＝a，求log616的值.

解：　由log1227＝a，得＝a，∴lg 2＝lg 3.

∴log616＝＝＝＝.

例4.（1）已知2m＝5n＝10，则＋＝________.

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

解：　（1）因为m＝log210，n＝log510，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

【类题通法】利用对数式与指数式互化求值的方法

对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

跟踪训练4  (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；

（2）设2x＝5y＝m，且＋＝2，则m＝————.

解析：(1)法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，

∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.

（2）∵2x＝5y＝m，两边取常用对数．得x＝log2m＝，y＝log5m＝，

∴＋＝＝＝2，

∴lg m＝，∴m＝.

3.对数的综合应用

例5   2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)

解：　设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍．

经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，

经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，

…，

经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，

所以1.08x＝2，所以x＝log1.082＝＝≈9，

故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．

【类题通法】解决对数应用题的一般步骤

跟踪训练5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A.1010.1   B.10.1 

C.lg 10.1   D.10－10.1

解：　设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，由m2－m1＝ lg，得 lg＝－1.45＋26.7＝25.25.

∴lg＝25.25×＝10.1，∴＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.

（五）操作演练  素养提升

1．下列各等式正确的为(　　)

A．log23·log25＝log2(3×5)           B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)

C．log2＝log2x－log2y               D．lg＝lg m(m>0，n>1，n∈N*)

2.（多选题）（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3. 设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)

A．a－2   B．3a－(1＋a)2

C．5a－2   D．－a2＋3a－1

【答案】 1.选D.   A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．

2.ABD   由题意，，

，．

 3.A   ∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第126页  练习1,2,3

              第127页   习题4.3   题4,5,6,7