2021学年1.5 全称量词与存在量词教案及反思

《1.5.1全称量词与存在量词》教学设计

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第s五节《全称量词与存在量词》。以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：

二，学情分析

     本章内容属于“预备知识”。学生在初中阶段已经接触过命题，会判断命题的真假，上一节学习了充要条件的判断，对于逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容还是比较感兴趣的，但是对于全称量词、存在量词是陌生的，因此会有较强的好奇心，教师可以抓住这一点，通过实例，让学生体会量词的含义。

三．学习目标

1.通过实例，理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词，培养学生的数学抽象核心素养；

2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养；

3. 会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。

四．教学重点

重点：全称量词与存在量词的含义；

难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”

来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.

可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢? 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢? 他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.

这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】（1） 文中理发师说:“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语,你还能用其他词语代替吗?

（2）上述词语都有什么含义?

[提示]   （1）“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.

（2）    表示某个范围内的整体或全部

【设计意图】

通过问题的探究，引导学生思考“量词”在生活中的应用，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

（二）全称量词与存在量词

【思考1】 下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）    x＞３；                 （2） 2x＋１是整数；

（3） 对所有的；  （4） 对任意一个是整数.

【提示】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。

         其中：

（3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题。

  全称量词与全称量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.

(2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.

(3)全称量词命题的表述形式:  对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),

读作“对任意x属于M,有p(x)成立”

【思考2】

（1）常用的全称量词还有哪些？

（2）全称量词命题中是否一定含有全称量词？

（3）全称量词命题具有什么特点？

【提示】 （1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.

（2）不一定，命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题。

（3）全称量词命题是陈述某集合的所有元素都具有某种性质的命题。

【辩一辩】  判断正误

(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(　　)

(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(　　)

(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×

【做一做】用量词符号“∀”表述下列命题．

(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

【提示】(1)∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.

(2)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入全称量词与全称量词命题的概念，培养数学抽象的核心素养。

【思考3】下列语句是命题吗？ 比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）2x＋１=３；                (2)x能被2和3整除；

(3)存在一个；  (4)至少有一个能被2和3整除.

【提示】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。

（3）是在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题；

（4）是在（2）的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题。

  存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的元素x,使p()成立,可简记为:∃∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”

【思考4】（1）常用的存在量词还有哪些？

（2）存在量词命题中是否一定含有存在量词？

（3）存在量词命题具有什么特点？

【提示】（1）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.

（2）存在量词命题的存在量词一般不能省略；

（3）存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。

【辩一辩】判断正误

(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．(　　)

(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　)

(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．(　　)

[答案]    (1)×   　(2)√　    (3)√

【做一做】用量词符号“∃”表述下列命题．

(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(2)某个四边形不是平行四边形．

【提示】(1)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．

(2)∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．

例1.    判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

①凸多边形的外角和等于360°；

②矩形的对角线不相等；

③若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

④有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；

⑤方程3x－2y＝10有整数解．

【思维引导】  寻找命题中的量词，判断是全称量词还是存在量词。

[解析]  ①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．

③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

④含存在量词“有些”，故为存在量词命题．

⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．

【类题通法】 判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤

(1)  首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．

(2)  若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的

   命题是存在量词命题．

(3)  当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略.

【巩固练习1】  判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：

(1)负数没有倒数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除；

(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；

(4)x＞7.

[答案]  (1)(3)(4)为全称量词命题

(2)为存在量词命题

【设计意图】

通过例题及练习的学习，使学生理解全称量词与存在量词的含义，全称量词命题与存在量词命题的概念，强化数学抽象的核心素养。

（三）全称量词命题与存在量词命题的真假

1. 判断全称量词命题与存在量词命题的真假

例2. 判断下列命题的真假．

(1)∃x∈Z，x3<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

【思维引导】根据量词的含义判断命题的真假。

[解析] (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

【类题通法】全称量词命题和存在量词命题真假的判断

(1)    要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；

要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．

(2)    要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；

要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．

【巩固练习2】

有下列四个命题：

①∀x∈R，＋1>0；

②∀x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；

③∃x∈N，x2≤x；

④∃x∈N*，x为29的约数．

其中真命题的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

[解析]　

对于①，这是全称量词命题，因为≥0对任意实数都成立，所以＋1>0，故①为真命题；

对于②，这是全称量词命题，因为当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；

对于③，这是存在量词命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；

对于④，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．

[答案]  C

2.由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

【思维引导】利用命题的真假，把问题转化为集合的关系求解。

[解析]　(1) 由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3.

(2) q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.

【类题通法】求参数范围的2类题型

(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．

(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

【巩固练习3】

若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．

[解析]　由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，

即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．

(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．

(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，

则解得m<－1.

综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.

【设计意图】 通过全称量词命题和存在量词命题的真假判断，培养学生逻辑推理的能力。

（四）操作演练  素养提升

1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任意一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

3.存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成(　　)

A．若x∈R，则x2＋1>0   B．∀x∈R，x2＋1<0

C．∃x∈R，x2＋1<0   D．以上都不正确

4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)

A．∀x∈R,2x＋1>0

B．若2x为偶数，则∀x∈N

C．所有菱形的四条边都相等

D．π是无理数

[答案]     1.C       2.B        3.C        4.C

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固全称量词与存在量词含义与全称量词命题和存在量词命题的真假判断，提高数学应用意识。

六．布置作业

完成教材：第28页  练习     第1，2题