数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案

《1.4.1充分条件与必要条件》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：

二、学情分析

     学生在初中阶段已经接触过命题，对命题的真假判断有了一定的基础，这对学习本节内容有一定的帮助，但是学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，在学习过程中会有困难，所以在教学时应多举一些实例引导学生去分析，使之与学生的知识结构同步完善发展。

 三、学习目标

1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养；

2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养；

3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养。

四、教学重点

重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；

难点：1.必要条件的理解

      2.充分条件、必要条件的判断方法

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。

　　一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。

　　邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。”

　　他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。

　　第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。

　　这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。

　　从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。

从这个小故事咱们发现一问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。

2.探索交流，解决问题

【问题1】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．　                                 

（3）若则；                         

（4）若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l,则

【提示】 

（1）(4)是真命题，（2）（3）是假命题。

【设计意图】

通过问题的探究，引导学生探索充分条件、必要条件的概念，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

（二）充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．

如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

【思考1】 （1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

（2）若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明。

（3）若p是q的必要条件，那么p是唯一的吗？举例说明。

（4）如何理解充分条件与必要条件？

【提示】（1）相同，都是p⇒q；

（2）不是，如x>2，x>3都是x>0的充分条件；

（3）不是，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．

        （4）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的；所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．

【做一做】 

1.    用符号“⇒”与“   ⇏”填空:

①>1 ______ x>1.     ②a,b都是偶数 ______ a+b是偶数.

2.用“充分条件”或“必要条件”填空：

   （1）是的______________；

   （2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.

[答案]   1.⇏  ⇒        2. 　充分条件   必要条件

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。

（三）充分条件与必要条件的判断

例1.(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．

①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；

③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．

[解析]　 ① ∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.

∴p不是q的充分条件．

② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．

③ ∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．

[答案]　③

例2.下列命题中，p是q的必要条件的是________．

(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；

(2)p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．

[解析]　(1)由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件．

(2)由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件．

[答案] （2）

【类题通法】 充分、必要条件的判断方法

(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．

(2)命题判断法：

①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．

【巩固练习1】

指出下列各组命题中，p是q的什么条件：

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；

(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；

(3)p：a<b，q：<1.

[解析]　 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；

在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；

在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

【设计意图】

通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.强化逻辑推理的核心素养。

（四）充分条件与必要条件的应用

例3.已知p：关于x的不等式  <x<，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

[思维引导]　p是q的充分条件转化为对应A⊆B，q是p的必要条件转化为A⊆B.

[解析]  记,,

若p是q的充分条件，则⊆B，分两种情况讨论：

①若,即,解得m≤0,此时⊆B，符合题意；

②若,要使⊆B，应有,解得.

综上可得，实数m的取值范围是.

[变式]    本例中，  若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，

求实数m的取值范围．

[解析]  记,,

若p是q的必要条件，则⊆A，则，解得，

所以实数m的取值范围是.

【类题通法】　充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

【巩固练习2】

已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；     q：实数x满足－2≤x≤3.

若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

[解析]  　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以解得－≤a<0，

所以a的取值范围是.

（五）操作演练  素养提升

1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．

2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．

3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．

4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．

[答案]   1.必要     2.充分     3.必要     4.充分

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固充分条件与必要条件的判断方法，提高语言转换和抽象概括能力,培养正确的逻辑推理意识。

六、布置作业

完成教材：第20页  练习     第1，2，3题